代数示例

$\frac{1}{3} + \frac{2}{9} + \frac{4}{27} + \frac{8}{81} + \frac{16}{243}$

解题步骤 1

由于各项间的比值相同，因此这是一个等比数列。在本例中，数列的前一项乘以 $\frac{2}{3}$ 即得到数列的下一项。亦即 $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ 。

等比数列： $r = \frac{2}{3}$

解题步骤 2

这是等比数列的形式。

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

解题步骤 3

代入 $a_{1} = \frac{1}{3}$ 和 $r = \frac{2}{3}$ 的值。

$a_{n} = \frac{1}{3} {(\frac{2}{3})}^{n - 1}$

解题步骤 4

对 $\frac{2}{3}$ 运用乘积法则。

$a_{n} = \frac{1}{3} \cdot \frac{2^{n - 1}}{3^{n - 1}}$

解题步骤 5

合并。

$a_{n} = \frac{1 \cdot 2^{n - 1}}{3 \cdot 3^{n - 1}}$

解题步骤 6

通过指数相加将 $3$ 乘以 $3^{n - 1}$ 。

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解题步骤 6.1

将 $3$ 乘以 $3^{n - 1}$ 。

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解题步骤 6.1.1

对 $3$ 进行 $1$ 次方运算。

$a_{n} = \frac{1 \cdot 2^{n - 1}}{3^{1} \cdot 3^{n - 1}}$

解题步骤 6.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$a_{n} = \frac{1 \cdot 2^{n - 1}}{3^{1 + n - 1}}$

解题步骤 6.2

合并 $1 + n - 1$ 中相反的项。

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解题步骤 6.2.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$a_{n} = \frac{1 \cdot 2^{n - 1}}{3^{n + 0}}$

解题步骤 6.2.2

将 $n$ 和 $0$ 相加。

$a_{n} = \frac{1 \cdot 2^{n - 1}}{3^{n}}$

解题步骤 7

将 $2^{n - 1}$ 乘以 $1$ 。

$a_{n} = \frac{2^{n - 1}}{3^{n}}$

解题步骤 8

这是求等比数列的前 $n$ 项之和的公式。要进行计算，求出 $r$ 和 $a_{1}$ 的值。

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

解题步骤 9

使用已知值替换变量以求 $S_{5}$ 。

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(\frac{2}{3})}^{5} - 1}{\frac{2}{3} - 1}$

解题步骤 10

化简分子。

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解题步骤 10.1

对 $\frac{2}{3}$ 运用乘积法则。

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{2^{5}}{3^{5}} - 1}{\frac{2}{3} - 1}$

解题步骤 10.2

对 $2$ 进行 $5$ 次方运算。

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{32}{3^{5}} - 1}{\frac{2}{3} - 1}$

解题步骤 10.3

对 $3$ 进行 $5$ 次方运算。

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{32}{243} - 1}{\frac{2}{3} - 1}$

解题步骤 10.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{243}{243}$ 。

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{32}{243} - 1 \cdot \frac{243}{243}}{\frac{2}{3} - 1}$

解题步骤 10.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{243}{243}$ 。

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{32}{243} + \frac{- 1 \cdot 243}{243}}{\frac{2}{3} - 1}$

解题步骤 10.6

在公分母上合并分子。

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{32 - 1 \cdot 243}{243}}{\frac{2}{3} - 1}$

解题步骤 10.7

化简分子。

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解题步骤 10.7.1

将 $- 1$ 乘以 $243$ 。

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{32 - 243}{243}}{\frac{2}{3} - 1}$

解题步骤 10.7.2

从 $32$ 中减去 $243$ 。

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{- 211}{243}}{\frac{2}{3} - 1}$

解题步骤 10.8

将负号移到分数的前面。

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{- \frac{211}{243}}{\frac{2}{3} - 1}$

解题步骤 11

化简分母。

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解题步骤 11.1

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{- \frac{211}{243}}{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

解题步骤 11.2

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{- \frac{211}{243}}{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

解题步骤 11.3

在公分母上合并分子。

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{- \frac{211}{243}}{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}$

解题步骤 11.4

化简分子。

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解题步骤 11.4.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{- \frac{211}{243}}{\frac{2 - 3}{3}}$

解题步骤 11.4.2

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{- \frac{211}{243}}{\frac{- 1}{3}}$

解题步骤 11.5

将负号移到分数的前面。

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{- \frac{211}{243}}{- \frac{1}{3}}$

解题步骤 12

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 12.1

将两个负数相除得到一个正数。

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{211}{243}}{\frac{1}{3}}$

解题步骤 12.2

将分子乘以分母的倒数。

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot (\frac{211}{243} \cdot 3)$

解题步骤 12.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 12.3.1

从 $\frac{211}{243} \cdot 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot \frac{211}{243})$

解题步骤 12.3.2

约去公因数。

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot \frac{211}{243})$

解题步骤 12.3.3

重写表达式。

$S_{5} = \frac{211}{243}$

代数 示例

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