代数示例

$x^{2} - 5 x + 6 = y$ , $(0, 3)$

解题步骤 1

将方程重写为 $y = x^{2} - 5 x + 6$ 。

$y = x^{2} - 5 x + 6$

解题步骤 2

中值定理表明，如果 $f$ 是区间 $[a, b]$ 上的一个实数连续函数且 $u$ 是介于 $f (a)$ 和 $f (b)$ 之间的一个数，那么将存在包含在区间 $[a, b]$ 中的 $c$ ，如 $f (c) = u$ 。

$u = f (c) = 0$

解题步骤 3

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 4

计算 $f (a) = f (0) = {(0)}^{2} - 5 \cdot 0 + 6$ 。

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解题步骤 4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0 - 5 \cdot 0 + 6$

解题步骤 4.1.2

将 $- 5$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 + 0 + 6$

解题步骤 4.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 4.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = 0 + 6$

解题步骤 4.2.2

将 $0$ 和 $6$ 相加。

$f (0) = 6$

解题步骤 5

计算 $f (b) = f (3) = {(3)}^{2} - 5 \cdot 3 + 6$ 。

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解题步骤 5.1

化简每一项。

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解题步骤 5.1.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (3) = 9 - 5 \cdot 3 + 6$

解题步骤 5.1.2

将 $- 5$ 乘以 $3$ 。

$f (3) = 9 - 15 + 6$

解题步骤 5.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 5.2.1

从 $9$ 中减去 $15$ 。

$f (3) = - 6 + 6$

解题步骤 5.2.2

将 $- 6$ 和 $6$ 相加。

$f (3) = 0$

解题步骤 6

因为 $0$ 在区间 $[0, 6]$ 上，所以可通过将 $y$ 设为 $y = x^{2} - 5 x + 6$ 中的 $0$ 来求解在根上的方程 $x$ 。

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解题步骤 6.1

将方程重写为 $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ 。

$x^{2} - 5 x + 6 = 0$

解题步骤 6.2

使用 AC 法来对 $x^{2} - 5 x + 6$ 进行因式分解。

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解题步骤 6.2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $6$ ，和为 $- 5$ 。

$- 3, - 2$

解题步骤 6.2.2

使用这些整数书写分数形式。

$(x - 3) (x - 2) = 0$

解题步骤 6.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 3 = 0$

$x - 2 = 0$

解题步骤 6.4

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.4.1

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 。

$x - 3 = 0$

解题步骤 6.4.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$x = 3$

解题步骤 6.5

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.5.1

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

解题步骤 6.5.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 6.6

最终解为使 $(x - 3) (x - 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = 3, 2$

解题步骤 7

中值定理表明，因为 $f$ 在 $[0, 3]$ 上是连续函数，所以在区间 $[0, 6]$ 上有一个根 $f (c) = 0$ 。

区间 $[0, 3]$ 上的根位于 $x = 2$ 。

解题步骤 8

代数 示例

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