代数示例

$f (x) = \frac{1}{3} \log_{4} (x)$

解题步骤 1

将 $f (x) = \frac{1}{3} \log_{4} (x)$ 写为等式。

$y = \frac{1}{3} \log_{4} (x)$

解题步骤 2

交换变量。

$x = \frac{1}{3} \cdot \log_{4} (y)$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $\frac{1}{3} \cdot \log_{4} (y) = x$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \log_{4} (y) = x$

解题步骤 3.2

等式两边同时乘以 $3$ 。

$3 (\frac{1}{3} \cdot \log_{4} (y)) = 3 x$

解题步骤 3.3

化简左边。

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解题步骤 3.3.1

化简 $3 (\frac{1}{3} \cdot \log_{4} (y))$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $\log_{4} (y)$ 。

$3 \frac{\log_{4} (y)}{3} = 3 x$

解题步骤 3.3.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.2.1

约去公因数。

$3 \frac{\log_{4} (y)}{3} = 3 x$

解题步骤 3.3.1.2.2

重写表达式。

$\log_{4} (y) = 3 x$

解题步骤 3.4

使用对数的定义将 $\log_{4} (y) = 3 x$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$4^{3 x} = y$

解题步骤 3.5

将方程重写为 $y = 4^{3 x}$ 。

$y = 4^{3 x}$

解题步骤 4

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = 4^{3 x}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = 4^{3 x}$ 是否为 $f (x) = \frac{1}{3} \cdot \log_{4} (x)$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \log_{4} (x))$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \log_{4} (x)) = 4^{3 (\frac{1}{3} \cdot \log_{4} (x))}$

解题步骤 5.2.3

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $\frac{1}{3} \log_{4} (x)$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \log_{4} (x)) = 4^{3 \log_{4} (x^{\frac{1}{3}})}$

解题步骤 5.2.4

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $3 \log_{4} (x^{\frac{1}{3}})$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \log_{4} (x)) = 4^{\log_{4} ({(x^{\frac{1}{3}})}^{3})}$

解题步骤 5.2.5

指数函数和对数函数互为反函数。

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \log_{4} (x)) = {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

解题步骤 5.2.6

将 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.6.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \log_{4} (x)) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

解题步骤 5.2.6.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.6.2.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \log_{4} (x)) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

解题步骤 5.2.6.2.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \log_{4} (x)) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (4^{3 x})$ 。

$f (4^{3 x}) = \frac{1}{3} \cdot \log_{4} (4^{3 x})$

解题步骤 5.3.3

使用对数规则把 $3 x$ 移到指数外部。

$f (4^{3 x}) = \frac{1}{3} \cdot (3 x \log_{4} (4))$

解题步骤 5.3.4

$4$ 的对数底 $4$ 的值为 $1$ 。

$f (4^{3 x}) = \frac{1}{3} \cdot (3 x \cdot 1)$

解题步骤 5.3.5

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$f (4^{3 x}) = \frac{1}{3} \cdot (3 x)$

解题步骤 5.3.6

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.6.1

从 $3 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (4^{3 x}) = \frac{1}{3} \cdot (3 (x))$

解题步骤 5.3.6.2

约去公因数。

$f (4^{3 x}) = \frac{1}{3} \cdot (3 x)$

解题步骤 5.3.6.3

重写表达式。

$f (4^{3 x}) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = 4^{3 x}$ 为 $f (x) = \frac{1}{3} \cdot \log_{4} (x)$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = 4^{3 x}$

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