代数示例

$\sqrt[n]{x^{2 n + 1}}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[n]{x^{2 n + 1}}$ 重写成 $x^{\frac{2 n + 1}{n}}$ 。

$\frac{d}{d n} [x^{\frac{2 n + 1}{n}}]$

解题步骤 2

利用广义幂法则求导，即 $\frac{d}{d n} [f^{g}]$ 为 $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ ，其中 $f = x$ 及 $g = \frac{2 n + 1}{n}$ 。

$\frac{d}{d n} [x] (\frac{2 n + 1}{n} x^{\frac{2 n + 1}{n} - 1}) + \frac{d}{d n} [\frac{2 n + 1}{n}] (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

解题步骤 3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{n}{n}$ 。

$\frac{d}{d n} [x] (\frac{2 n + 1}{n} x^{\frac{2 n + 1}{n} - 1 \cdot \frac{n}{n}}) + \frac{d}{d n} [\frac{2 n + 1}{n}] (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

解题步骤 4

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.1

组合 $- 1$ 和 $\frac{n}{n}$ 。

$\frac{d}{d n} [x] (\frac{2 n + 1}{n} x^{\frac{2 n + 1}{n} + \frac{- n}{n}}) + \frac{d}{d n} [\frac{2 n + 1}{n}] (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

解题步骤 4.2

化简项。

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解题步骤 4.2.1

在公分母上合并分子。

$\frac{d}{d n} [x] (\frac{2 n + 1}{n} x^{\frac{2 n + 1 - n}{n}}) + \frac{d}{d n} [\frac{2 n + 1}{n}] (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

解题步骤 4.2.2

从 $2 n$ 中减去 $n$ 。

$\frac{d}{d n} [x] (\frac{2 n + 1}{n} x^{\frac{n + 1}{n}}) + \frac{d}{d n} [\frac{2 n + 1}{n}] (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

解题步骤 4.2.3

组合 $\frac{2 n + 1}{n}$ 和 $x^{\frac{n + 1}{n}}$ 。

$\frac{d}{d n} [x] \frac{(2 n + 1) x^{\frac{n + 1}{n}}}{n} + \frac{d}{d n} [\frac{2 n + 1}{n}] (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

解题步骤 4.3

因为 $x$ 对于 $n$ 是常数，所以 $x$ 对 $n$ 的导数为 $0$ 。

$0 \frac{(2 n + 1) x^{\frac{n + 1}{n}}}{n} + \frac{d}{d n} [\frac{2 n + 1}{n}] (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

解题步骤 4.4

化简表达式。

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解题步骤 4.4.1

将 $0$ 乘以 $\frac{(2 n + 1) x^{\frac{n + 1}{n}}}{n}$ 。

$0 + \frac{d}{d n} [\frac{2 n + 1}{n}] (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

解题步骤 4.4.2

将 $0$ 和 $\frac{d}{d n} [\frac{2 n + 1}{n}] (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$ 相加。

$\frac{d}{d n} [\frac{2 n + 1}{n}] (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

解题步骤 5

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d n} [\frac{f (n)}{g (n)}]$ 等于 $\frac{g (n) \frac{d}{d n} [f (n)] - f (n) \frac{d}{d n} [g (n)]}{{g (n)}^{2}}$ ，其中 $f (n) = 2 n + 1$ 且 $g (n) = n$ 。

$\frac{n \frac{d}{d n} [2 n + 1] - (2 n + 1) \frac{d}{d n} [n]}{n^{2}} (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

解题步骤 6

求微分。

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解题步骤 6.1

根据加法法则， $2 n + 1$ 对 $n$ 的导数是 $\frac{d}{d n} [2 n] + \frac{d}{d n} [1]$ 。

$\frac{n (\frac{d}{d n} [2 n] + \frac{d}{d n} [1]) - (2 n + 1) \frac{d}{d n} [n]}{n^{2}} (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

解题步骤 6.2

因为 $2$ 对于 $n$ 是常数，所以 $2 n$ 对 $n$ 的导数是 $2 \frac{d}{d n} [n]$ 。

$\frac{n (2 \frac{d}{d n} [n] + \frac{d}{d n} [1]) - (2 n + 1) \frac{d}{d n} [n]}{n^{2}} (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

解题步骤 6.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ 等于 $n \cdot n^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{n (2 \cdot 1 + \frac{d}{d n} [1]) - (2 n + 1) \frac{d}{d n} [n]}{n^{2}} (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

解题步骤 6.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{n (2 + \frac{d}{d n} [1]) - (2 n + 1) \frac{d}{d n} [n]}{n^{2}} (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

解题步骤 6.5

因为 $1$ 对于 $n$ 是常数，所以 $1$ 对 $n$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{n (2 + 0) - (2 n + 1) \frac{d}{d n} [n]}{n^{2}} (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

解题步骤 6.6

化简表达式。

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解题步骤 6.6.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{n \cdot 2 - (2 n + 1) \frac{d}{d n} [n]}{n^{2}} (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

解题步骤 6.6.2

将 $2$ 移到 $n$ 的左侧。

$\frac{2 \cdot n - (2 n + 1) \frac{d}{d n} [n]}{n^{2}} (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

解题步骤 6.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ 等于 $n \cdot n^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{2 n - (2 n + 1) \cdot 1}{n^{2}} (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

解题步骤 6.8

合并分数。

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解题步骤 6.8.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 n - (2 n + 1)}{n^{2}} (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

解题步骤 6.8.2

组合 $x^{\frac{2 n + 1}{n}}$ 和 $\frac{2 n - (2 n + 1)}{n^{2}}$ 。

$\frac{x^{\frac{2 n + 1}{n}} (2 n - (2 n + 1))}{n^{2}} \ln (x)$

解题步骤 6.8.3

组合 $\frac{x^{\frac{2 n + 1}{n}} (2 n - (2 n + 1))}{n^{2}}$ 和 $\ln (x)$ 。

$\frac{x^{\frac{2 n + 1}{n}} (2 n - (2 n + 1)) \ln (x)}{n^{2}}$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

运用分配律。

$\frac{x^{\frac{2 n + 1}{n}} (2 n - (2 n) - 1 \cdot 1) \ln (x)}{n^{2}}$

解题步骤 7.2

化简分子。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x^{\frac{2 n + 1}{n}} (2 n - 2 n - 1 \cdot 1) \ln (x)}{n^{2}}$

解题步骤 7.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{\frac{2 n + 1}{n}} (2 n - 2 n - 1) \ln (x)}{n^{2}}$

解题步骤 7.2.2

从 $2 n$ 中减去 $2 n$ 。

$\frac{x^{\frac{2 n + 1}{n}} (0 - 1) \ln (x)}{n^{2}}$

解题步骤 7.2.3

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$\frac{x^{\frac{2 n + 1}{n}} \cdot - 1 \ln (x)}{n^{2}}$

解题步骤 7.2.4

将 $- 1$ 移到 $x^{\frac{2 n + 1}{n}}$ 的左侧。

$\frac{- 1 \cdot x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x)}{n^{2}}$

解题步骤 7.2.5

将 $- 1 x^{\frac{2 n + 1}{n}}$ 重写为 $- x^{\frac{2 n + 1}{n}}$ 。

$\frac{- x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x)}{n^{2}}$

解题步骤 7.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x)}{n^{2}}$

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