代数示例

$y = \frac{4 x^{5} + 2 x^{2}}{3 x^{4} + 5}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 4 x^{5} + 2 x^{2}$ 且 $g (x) = 3 x^{4} + 5$ 。

$\frac{(3 x^{4} + 5) \frac{d}{d x} [4 x^{5} + 2 x^{2}] - (4 x^{5} + 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5]}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

解题步骤 2

根据加法法则， $4 x^{5} + 2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ 。

$\frac{(3 x^{4} + 5) (\frac{d}{d x} [4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]) - (4 x^{5} + 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5]}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{5}]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$\frac{(3 x^{4} + 5) (4 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]) - (4 x^{5} + 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5]}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$\frac{(3 x^{4} + 5) (4 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]) - (4 x^{5} + 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5]}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

解题步骤 3.3

将 $5$ 乘以 $4$ 。

$\frac{(3 x^{4} + 5) (20 x^{4} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]) - (4 x^{5} + 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5]}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

解题步骤 4

计算 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ 。

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解题步骤 4.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{(3 x^{4} + 5) (20 x^{4} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (4 x^{5} + 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5]}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(3 x^{4} + 5) (20 x^{4} + 2 (2 x)) - (4 x^{5} + 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5]}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

解题步骤 4.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{(3 x^{4} + 5) (20 x^{4} + 4 x) - (4 x^{5} + 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5]}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

解题步骤 5

根据加法法则， $3 x^{4} + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$\frac{(3 x^{4} + 5) (20 x^{4} + 4 x) - (4 x^{5} + 2 x^{2}) (\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [5])}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

解题步骤 6

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ 。

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解题步骤 6.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$\frac{(3 x^{4} + 5) (20 x^{4} + 4 x) - (4 x^{5} + 2 x^{2}) (3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5])}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

解题步骤 6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$\frac{(3 x^{4} + 5) (20 x^{4} + 4 x) - (4 x^{5} + 2 x^{2}) (3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [5])}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

解题步骤 6.3

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{(3 x^{4} + 5) (20 x^{4} + 4 x) - (4 x^{5} + 2 x^{2}) (12 x^{3} + \frac{d}{d x} [5])}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

解题步骤 7

使用常数法则求导。

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解题步骤 7.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(3 x^{4} + 5) (20 x^{4} + 4 x) - (4 x^{5} + 2 x^{2}) (12 x^{3} + 0)}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

解题步骤 7.2

将 $12 x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(3 x^{4} + 5) (20 x^{4} + 4 x) - (4 x^{5} + 2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

运用分配律。

$\frac{(3 x^{4} + 5) (20 x^{4} + 4 x) + (- (4 x^{5}) - (2 x^{2})) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

解题步骤 8.2

运用分配律。

$\frac{(3 x^{4} + 5) (20 x^{4} + 4 x) - (4 x^{5}) (12 x^{3}) - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

解题步骤 8.3

化简分子。

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解题步骤 8.3.1

化简每一项。

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解题步骤 8.3.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(3 x^{4} + 5) (20 x^{4} + 4 x)$ 。

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解题步骤 8.3.1.1.1

运用分配律。

$\frac{3 x^{4} (20 x^{4} + 4 x) + 5 (20 x^{4} + 4 x) - (4 x^{5}) (12 x^{3}) - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

解题步骤 8.3.1.1.2

运用分配律。

$\frac{3 x^{4} (20 x^{4}) + 3 x^{4} (4 x) + 5 (20 x^{4} + 4 x) - (4 x^{5}) (12 x^{3}) - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

解题步骤 8.3.1.1.3

运用分配律。

$\frac{3 x^{4} (20 x^{4}) + 3 x^{4} (4 x) + 5 (20 x^{4}) + 5 (4 x) - (4 x^{5}) (12 x^{3}) - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

解题步骤 8.3.1.2

化简每一项。

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解题步骤 8.3.1.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{3 \cdot 20 x^{4} x^{4} + 3 x^{4} (4 x) + 5 (20 x^{4}) + 5 (4 x) - (4 x^{5}) (12 x^{3}) - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

解题步骤 8.3.1.2.2

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 8.3.1.2.2.1

移动 $x^{4}$ 。

$\frac{3 \cdot 20 (x^{4} x^{4}) + 3 x^{4} (4 x) + 5 (20 x^{4}) + 5 (4 x) - (4 x^{5}) (12 x^{3}) - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

解题步骤 8.3.1.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 \cdot 20 x^{4 + 4} + 3 x^{4} (4 x) + 5 (20 x^{4}) + 5 (4 x) - (4 x^{5}) (12 x^{3}) - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

解题步骤 8.3.1.2.2.3

将 $4$ 和 $4$ 相加。

$\frac{3 \cdot 20 x^{8} + 3 x^{4} (4 x) + 5 (20 x^{4}) + 5 (4 x) - (4 x^{5}) (12 x^{3}) - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

解题步骤 8.3.1.2.3

将 $3$ 乘以 $20$ 。

$\frac{60 x^{8} + 3 x^{4} (4 x) + 5 (20 x^{4}) + 5 (4 x) - (4 x^{5}) (12 x^{3}) - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

解题步骤 8.3.1.2.4

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{60 x^{8} + 3 \cdot 4 x^{4} x + 5 (20 x^{4}) + 5 (4 x) - (4 x^{5}) (12 x^{3}) - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

解题步骤 8.3.1.2.5

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 8.3.1.2.5.1

移动 $x$ 。

$\frac{60 x^{8} + 3 \cdot 4 (x \cdot x^{4}) + 5 (20 x^{4}) + 5 (4 x) - (4 x^{5}) (12 x^{3}) - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

解题步骤 8.3.1.2.5.2

将 $x$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 8.3.1.2.5.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{60 x^{8} + 3 \cdot 4 (x^{1} x^{4}) + 5 (20 x^{4}) + 5 (4 x) - (4 x^{5}) (12 x^{3}) - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

解题步骤 8.3.1.2.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{60 x^{8} + 3 \cdot 4 x^{1 + 4} + 5 (20 x^{4}) + 5 (4 x) - (4 x^{5}) (12 x^{3}) - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

解题步骤 8.3.1.2.5.3

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$\frac{60 x^{8} + 3 \cdot 4 x^{5} + 5 (20 x^{4}) + 5 (4 x) - (4 x^{5}) (12 x^{3}) - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

解题步骤 8.3.1.2.6

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$\frac{60 x^{8} + 12 x^{5} + 5 (20 x^{4}) + 5 (4 x) - (4 x^{5}) (12 x^{3}) - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

解题步骤 8.3.1.2.7

将 $20$ 乘以 $5$ 。

$\frac{60 x^{8} + 12 x^{5} + 100 x^{4} + 5 (4 x) - (4 x^{5}) (12 x^{3}) - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

解题步骤 8.3.1.2.8

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$\frac{60 x^{8} + 12 x^{5} + 100 x^{4} + 20 x - (4 x^{5}) (12 x^{3}) - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

解题步骤 8.3.1.3

通过指数相加将 $x^{5}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 8.3.1.3.1

移动 $x^{3}$ 。

$\frac{60 x^{8} + 12 x^{5} + 100 x^{4} + 20 x - (4 (x^{3} x^{5})) \cdot 12 - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

解题步骤 8.3.1.3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{60 x^{8} + 12 x^{5} + 100 x^{4} + 20 x - (4 x^{3 + 5}) \cdot 12 - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

解题步骤 8.3.1.3.3

将 $3$ 和 $5$ 相加。

$\frac{60 x^{8} + 12 x^{5} + 100 x^{4} + 20 x - (4 x^{8}) \cdot 12 - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

解题步骤 8.3.1.4

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{60 x^{8} + 12 x^{5} + 100 x^{4} + 20 x - 4 x^{8} \cdot 12 - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

解题步骤 8.3.1.5

将 $12$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{60 x^{8} + 12 x^{5} + 100 x^{4} + 20 x - 48 x^{8} - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

解题步骤 8.3.1.6

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 8.3.1.6.1

移动 $x^{3}$ 。

$\frac{60 x^{8} + 12 x^{5} + 100 x^{4} + 20 x - 48 x^{8} - (2 (x^{3} x^{2})) \cdot 12}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

解题步骤 8.3.1.6.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{60 x^{8} + 12 x^{5} + 100 x^{4} + 20 x - 48 x^{8} - (2 x^{3 + 2}) \cdot 12}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

解题步骤 8.3.1.6.3

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$\frac{60 x^{8} + 12 x^{5} + 100 x^{4} + 20 x - 48 x^{8} - (2 x^{5}) \cdot 12}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

解题步骤 8.3.1.7

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{60 x^{8} + 12 x^{5} + 100 x^{4} + 20 x - 48 x^{8} - 2 x^{5} \cdot 12}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

解题步骤 8.3.1.8

将 $12$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{60 x^{8} + 12 x^{5} + 100 x^{4} + 20 x - 48 x^{8} - 24 x^{5}}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

解题步骤 8.3.2

从 $60 x^{8}$ 中减去 $48 x^{8}$ 。

$\frac{12 x^{8} + 12 x^{5} + 100 x^{4} + 20 x - 24 x^{5}}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

解题步骤 8.3.3

从 $12 x^{5}$ 中减去 $24 x^{5}$ 。

$\frac{12 x^{8} - 12 x^{5} + 100 x^{4} + 20 x}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

解题步骤 8.4

从 $12 x^{8} - 12 x^{5} + 100 x^{4} + 20 x$ 中分解出因数 $4 x$ 。

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解题步骤 8.4.1

从 $12 x^{8}$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$\frac{4 x (3 x^{7}) - 12 x^{5} + 100 x^{4} + 20 x}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

解题步骤 8.4.2

从 $- 12 x^{5}$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$\frac{4 x (3 x^{7}) + 4 x (- 3 x^{4}) + 100 x^{4} + 20 x}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

解题步骤 8.4.3

从 $100 x^{4}$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$\frac{4 x (3 x^{7}) + 4 x (- 3 x^{4}) + 4 x (25 x^{3}) + 20 x}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

解题步骤 8.4.4

从 $20 x$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$\frac{4 x (3 x^{7}) + 4 x (- 3 x^{4}) + 4 x (25 x^{3}) + 4 x (5)}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

解题步骤 8.4.5

从 $4 x (3 x^{7}) + 4 x (- 3 x^{4})$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$\frac{4 x (3 x^{7} - 3 x^{4}) + 4 x (25 x^{3}) + 4 x (5)}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

解题步骤 8.4.6

从 $4 x (3 x^{7} - 3 x^{4}) + 4 x (25 x^{3})$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$\frac{4 x (3 x^{7} - 3 x^{4} + 25 x^{3}) + 4 x (5)}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

解题步骤 8.4.7

从 $4 x (3 x^{7} - 3 x^{4} + 25 x^{3}) + 4 x (5)$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$\frac{4 x (3 x^{7} - 3 x^{4} + 25 x^{3} + 5)}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

代数 示例

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