代数示例

$f (x) = \frac{24}{1 + 3 e^{- 1.3 x}}$

解题步骤 1

求二阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 1.1.1.1

因为 $24$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{24}{1 + 3 e^{- 1.3 x}}$ 对 $x$ 的导数是 $24 \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + 3 e^{- 1.3 x}}]$ 。

$f' (x) = 24 \frac{d}{d x} (\frac{1}{1 + 3 e^{- 1.3 x}})$

解题步骤 1.1.1.2

将 $\frac{1}{1 + 3 e^{- 1.3 x}}$ 重写为 ${(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{- 1}$ 。

$f' (x) = 24 \frac{d}{d x} ({(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{- 1})$

解题步骤 1.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = 1 + 3 e^{- 1.3 x}$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $1 + 3 e^{- 1.3 x}$ 。

$f' (x) = 24 (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (1 + 3 e^{- 1.3 x}))$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$f' (x) = 24 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} (1 + 3 e^{- 1.3 x}))$

解题步骤 1.1.2.3

使用 $1 + 3 e^{- 1.3 x}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$f' (x) = 24 (- {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} (1 + 3 e^{- 1.3 x}))$

解题步骤 1.1.3

求微分。

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解题步骤 1.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $24$ 。

$f' (x) = - 24 ({(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} (1 + 3 e^{- 1.3 x}))$

解题步骤 1.1.3.2

根据加法法则， $1 + 3 e^{- 1.3 x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 e^{- 1.3 x}]$ 。

$f' (x) = - 24 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{- 2} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (3 e^{- 1.3 x}))$

解题步骤 1.1.3.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = - 24 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} (3 e^{- 1.3 x}))$

解题步骤 1.1.3.4

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [3 e^{- 1.3 x}]$ 相加。

$f' (x) = - 24 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} (3 e^{- 1.3 x})$

解题步骤 1.1.3.5

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 e^{- 1.3 x}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [e^{- 1.3 x}]$ 。

$f' (x) = - 24 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{- 2} (3 \frac{d}{d x} (e^{- 1.3 x}))$

解题步骤 1.1.3.6

将 $3$ 乘以 $- 24$ 。

$f' (x) = - 72 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} e^{- 1.3 x}$

解题步骤 1.1.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - 1.3 x$ 。

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解题步骤 1.1.4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $- 1.3 x$ 。

$f' (x) = - 72 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{- 2} (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- 1.3 x))$

解题步骤 1.1.4.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f' (x) = - 72 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- 1.3 x))$

解题步骤 1.1.4.3

使用 $- 1.3 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$f' (x) = - 72 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{- 2} (e^{- 1.3 x} \frac{d}{d x} (- 1.3 x))$

解题步骤 1.1.5

求微分。

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解题步骤 1.1.5.1

因为 $- 1.3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1.3 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 1.3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f' (x) = - 72 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{- 2} (e^{- 1.3 x} (- 1.3 \frac{d}{d x} x))$

解题步骤 1.1.5.2

将 $- 1.3$ 乘以 $- 72$ 。

$f' (x) = 93.6 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{- 2} (e^{- 1.3 x} (\frac{d}{d x} (x)))$

解题步骤 1.1.5.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = 93.6 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{- 2} (e^{- 1.3 x} \cdot 1)$

解题步骤 1.1.5.4

将 $e^{- 1.3 x}$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 93.6 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{- 2} e^{- 1.3 x}$

解题步骤 1.1.6

化简。

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解题步骤 1.1.6.1

重新排序 $93.6 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{- 2} e^{- 1.3 x}$ 的因式。

$f' (x) = 93.6 e^{- 1.3 x} {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{- 2}$

解题步骤 1.1.6.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f' (x) = 93.6 e^{- 1.3 x} (\frac{1}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2}})$

解题步骤 1.1.6.3

乘以 $93.6 e^{- 1.3 x} \frac{1}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2}}$ 。

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解题步骤 1.1.6.3.1

组合 $\frac{1}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2}}$ 和 $93.6$ 。

$f' (x) = \frac{93.6}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2}} \cdot e^{- 1.3 x}$

解题步骤 1.1.6.3.2

组合 $\frac{93.6}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2}}$ 和 $e^{- 1.3 x}$ 。

$f' (x) = \frac{93.6 e^{- 1.3 x}}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2}}$

解题步骤 1.2

求二阶导数。

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解题步骤 1.2.1

因为 $93.6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{93.6 e^{- 1.3 x}}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $93.6 \frac{d}{d x} [\frac{e^{- 1.3 x}}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2}}]$ 。

$f'' (x) = 93.6 \frac{d}{d x} (\frac{e^{- 1.3 x}}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2}})$

解题步骤 1.2.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = e^{- 1.3 x}$ 且 $g (x) = {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2}$ 。

$f'' (x) = 93.6 (\frac{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} \frac{d}{d x} (e^{- 1.3 x}) - e^{- 1.3 x} \frac{d}{d x} {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2}}{{({(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2})}^{2}})$

解题步骤 1.2.3

将 ${({(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = 93.6 (\frac{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} \frac{d}{d x} (e^{- 1.3 x}) - e^{- 1.3 x} \frac{d}{d x} {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2}}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2 \cdot 2}})$

解题步骤 1.2.3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = 93.6 (\frac{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} \frac{d}{d x} (e^{- 1.3 x}) - e^{- 1.3 x} \frac{d}{d x} {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2}}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

解题步骤 1.2.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - 1.3 x$ 。

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解题步骤 1.2.4.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $- 1.3 x$ 。

$f'' (x) = 93.6 (\frac{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- 1.3 x)) - e^{- 1.3 x} \frac{d}{d x} {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2}}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

解题步骤 1.2.4.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f'' (x) = 93.6 (\frac{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- 1.3 x)) - e^{- 1.3 x} \frac{d}{d x} {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2}}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

解题步骤 1.2.4.3

使用 $- 1.3 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$f'' (x) = 93.6 (\frac{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} (e^{- 1.3 x} \frac{d}{d x} (- 1.3 x)) - e^{- 1.3 x} \frac{d}{d x} {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2}}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

解题步骤 1.2.5

求微分。

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解题步骤 1.2.5.1

因为 $- 1.3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1.3 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 1.3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 93.6 (\frac{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} (- 1.3 \frac{d}{d x} x) - e^{- 1.3 x} \frac{d}{d x} {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2}}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

解题步骤 1.2.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 93.6 (\frac{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} (- 1.3 \cdot 1) - e^{- 1.3 x} \frac{d}{d x} {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2}}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

解题步骤 1.2.5.3

化简表达式。

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解题步骤 1.2.5.3.1

将 $- 1.3$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 93.6 (\frac{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} \cdot - 1.3 - e^{- 1.3 x} \frac{d}{d x} {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2}}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

解题步骤 1.2.5.3.2

将 $- 1.3$ 移到 ${(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x}$ 的左侧。

$f'' (x) = 93.6 (\frac{- 1.3 \cdot ({(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x}) - e^{- 1.3 x} \frac{d}{d x} {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2}}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

解题步骤 1.2.6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = 1 + 3 e^{- 1.3 x}$ 。

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解题步骤 1.2.6.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $1 + 3 e^{- 1.3 x}$ 。

$f'' (x) = 93.6 (\frac{- 1.3 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} - e^{- 1.3 x} (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{2}) \frac{d}{d x} (1 + 3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

解题步骤 1.2.6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 93.6 (\frac{- 1.3 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} - e^{- 1.3 x} (2 u_{2} \frac{d}{d x} (1 + 3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

解题步骤 1.2.6.3

使用 $1 + 3 e^{- 1.3 x}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$f'' (x) = 93.6 (\frac{- 1.3 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} - e^{- 1.3 x} (2 (1 + 3 e^{- 1.3 x}) \frac{d}{d x} (1 + 3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

解题步骤 1.2.7

求微分。

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解题步骤 1.2.7.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = 93.6 (\frac{- 1.3 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} - 2 e^{- 1.3 x} ((1 + 3 e^{- 1.3 x}) \frac{d}{d x} (1 + 3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

解题步骤 1.2.7.2

根据加法法则， $1 + 3 e^{- 1.3 x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 e^{- 1.3 x}]$ 。

$f'' (x) = 93.6 (\frac{- 1.3 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} - 2 e^{- 1.3 x} ((1 + 3 e^{- 1.3 x}) (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (3 e^{- 1.3 x})))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

解题步骤 1.2.7.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 93.6 (\frac{- 1.3 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} - 2 e^{- 1.3 x} ((1 + 3 e^{- 1.3 x}) (0 + \frac{d}{d x} (3 e^{- 1.3 x})))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

解题步骤 1.2.7.4

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [3 e^{- 1.3 x}]$ 相加。

$f'' (x) = 93.6 (\frac{- 1.3 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} - 2 e^{- 1.3 x} ((1 + 3 e^{- 1.3 x}) \frac{d}{d x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

解题步骤 1.2.7.5

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 e^{- 1.3 x}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [e^{- 1.3 x}]$ 。

$f'' (x) = 93.6 (\frac{- 1.3 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} - 2 e^{- 1.3 x} ((1 + 3 e^{- 1.3 x}) (3 \frac{d}{d x} (e^{- 1.3 x})))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

解题步骤 1.2.7.6

化简表达式。

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解题步骤 1.2.7.6.1

将 $3$ 移到 $1 + 3 e^{- 1.3 x}$ 的左侧。

$f'' (x) = 93.6 (\frac{- 1.3 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} - 2 e^{- 1.3 x} (3 \cdot (1 + 3 e^{- 1.3 x}) \frac{d}{d x} (e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

解题步骤 1.2.7.6.2

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = 93.6 (\frac{- 1.3 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} - 6 e^{- 1.3 x} ((1 + 3 e^{- 1.3 x}) \frac{d}{d x} (e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

解题步骤 1.2.8

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - 1.3 x$ 。

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解题步骤 1.2.8.1

要使用链式法则，请将 $u_{3}$ 设为 $- 1.3 x$ 。

$f'' (x) = 93.6 (\frac{- 1.3 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} - 6 e^{- 1.3 x} ((1 + 3 e^{- 1.3 x}) (\frac{d}{d u (3)} (e^{u_{3}}) \frac{d}{d x} (- 1.3 x)))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

解题步骤 1.2.8.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ 等于 $a^{u_{3}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f'' (x) = 93.6 (\frac{- 1.3 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} - 6 e^{- 1.3 x} ((1 + 3 e^{- 1.3 x}) (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} (- 1.3 x)))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

解题步骤 1.2.8.3

使用 $- 1.3 x$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$f'' (x) = 93.6 (\frac{- 1.3 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} - 6 e^{- 1.3 x} ((1 + 3 e^{- 1.3 x}) (e^{- 1.3 x} \frac{d}{d x} (- 1.3 x)))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

解题步骤 1.2.9

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = 93.6 (\frac{- 1.3 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} - 6 e^{- 1.3 x - 1.3 x} ((1 + 3 e^{- 1.3 x}) \frac{d}{d x} (- 1.3 x))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

解题步骤 1.2.10

从 $- 1.3 x$ 中减去 $1.3 x$ 。

$f'' (x) = 93.6 (\frac{- 1.3 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} - 6 e^{- 2.6 x} ((1 + 3 e^{- 1.3 x}) \frac{d}{d x} (- 1.3 x))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

解题步骤 1.2.11

因为 $- 1.3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1.3 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 1.3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 93.6 (\frac{- 1.3 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} - 6 e^{- 2.6 x} ((1 + 3 e^{- 1.3 x}) (- 1.3 \frac{d}{d x} x))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

解题步骤 1.2.12

将 $- 1.3$ 乘以 $- 6$ 。

$f'' (x) = 93.6 (\frac{- 1.3 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} + 7.8 e^{- 2.6 x} ((1 + 3 e^{- 1.3 x}) (\frac{d}{d x} (x)))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

解题步骤 1.2.13

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 93.6 (\frac{- 1.3 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} + 7.8 e^{- 2.6 x} ((1 + 3 e^{- 1.3 x}) \cdot 1)}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

解题步骤 1.2.14

合并分数。

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解题步骤 1.2.14.1

将 $1 + 3 e^{- 1.3 x}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 93.6 (\frac{- 1.3 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} + 7.8 e^{- 2.6 x} (1 + 3 e^{- 1.3 x})}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}})$

解题步骤 1.2.14.2

组合 $93.6$ 和 $\frac{- 1.3 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} + 7.8 e^{- 2.6 x} (1 + 3 e^{- 1.3 x})}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$ 。

$f'' (x) = \frac{93.6 (- 1.3 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} + 7.8 e^{- 2.6 x} (1 + 3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

解题步骤 1.2.15

化简。

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解题步骤 1.2.15.1

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{93.6 (- 1.3 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x} + 7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1 + 7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

解题步骤 1.2.15.2

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{93.6 (- 1.3 {(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2} e^{- 1.3 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

解题步骤 1.2.15.3

化简分子。

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解题步骤 1.2.15.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.15.3.1.1

将 ${(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{2}$ 重写为 $(1 + 3 e^{- 1.3 x}) (1 + 3 e^{- 1.3 x})$ 。

$f'' (x) = \frac{93.6 (- 1.3 ((1 + 3 e^{- 1.3 x}) (1 + 3 e^{- 1.3 x})) e^{- 1.3 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

解题步骤 1.2.15.3.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(1 + 3 e^{- 1.3 x}) (1 + 3 e^{- 1.3 x})$ 。

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解题步骤 1.2.15.3.1.2.1

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{93.6 (- 1.3 (1 (1 + 3 e^{- 1.3 x}) + 3 e^{- 1.3 x} (1 + 3 e^{- 1.3 x})) e^{- 1.3 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

解题步骤 1.2.15.3.1.2.2

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{93.6 (- 1.3 (1 \cdot 1 + 1 (3 e^{- 1.3 x}) + 3 e^{- 1.3 x} (1 + 3 e^{- 1.3 x})) e^{- 1.3 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

解题步骤 1.2.15.3.1.2.3

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{93.6 (- 1.3 (1 \cdot 1 + 1 (3 e^{- 1.3 x}) + 3 e^{- 1.3 x} \cdot 1 + 3 e^{- 1.3 x} (3 e^{- 1.3 x})) e^{- 1.3 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

解题步骤 1.2.15.3.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.2.15.3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.15.3.1.3.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{93.6 (- 1.3 (1 + 1 (3 e^{- 1.3 x}) + 3 e^{- 1.3 x} \cdot 1 + 3 e^{- 1.3 x} (3 e^{- 1.3 x})) e^{- 1.3 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

解题步骤 1.2.15.3.1.3.1.2

将 $3 e^{- 1.3 x}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{93.6 (- 1.3 (1 + 3 e^{- 1.3 x} + 3 e^{- 1.3 x} \cdot 1 + 3 e^{- 1.3 x} (3 e^{- 1.3 x})) e^{- 1.3 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

解题步骤 1.2.15.3.1.3.1.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{93.6 (- 1.3 (1 + 3 e^{- 1.3 x} + 3 e^{- 1.3 x} + 3 e^{- 1.3 x} (3 e^{- 1.3 x})) e^{- 1.3 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

解题步骤 1.2.15.3.1.3.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$f'' (x) = \frac{93.6 (- 1.3 (1 + 3 e^{- 1.3 x} + 3 e^{- 1.3 x} + 3 \cdot (3 e^{- 1.3 x} e^{- 1.3 x})) e^{- 1.3 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

解题步骤 1.2.15.3.1.3.1.5

通过指数相加将 $e^{- 1.3 x}$ 乘以 $e^{- 1.3 x}$ 。

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解题步骤 1.2.15.3.1.3.1.5.1

移动 $e^{- 1.3 x}$ 。

$f'' (x) = \frac{93.6 (- 1.3 (1 + 3 e^{- 1.3 x} + 3 e^{- 1.3 x} + 3 \cdot (3 (e^{- 1.3 x} e^{- 1.3 x}))) e^{- 1.3 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

解题步骤 1.2.15.3.1.3.1.5.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{93.6 (- 1.3 (1 + 3 e^{- 1.3 x} + 3 e^{- 1.3 x} + 3 \cdot (3 e^{- 1.3 x - 1.3 x})) e^{- 1.3 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

解题步骤 1.2.15.3.1.3.1.5.3

从 $- 1.3 x$ 中减去 $1.3 x$ 。

$f'' (x) = \frac{93.6 (- 1.3 (1 + 3 e^{- 1.3 x} + 3 e^{- 1.3 x} + 3 \cdot (3 e^{- 2.6 x})) e^{- 1.3 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

解题步骤 1.2.15.3.1.3.1.6

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = \frac{93.6 (- 1.3 (1 + 3 e^{- 1.3 x} + 3 e^{- 1.3 x} + 9 e^{- 2.6 x}) e^{- 1.3 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

解题步骤 1.2.15.3.1.3.2

将 $3 e^{- 1.3 x}$ 和 $3 e^{- 1.3 x}$ 相加。

$f'' (x) = \frac{93.6 (- 1.3 (1 + 6 e^{- 1.3 x} + 9 e^{- 2.6 x}) e^{- 1.3 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

解题步骤 1.2.15.3.1.4

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{93.6 ((- 1.3 \cdot 1 - 1.3 (6 e^{- 1.3 x}) - 1.3 (9 e^{- 2.6 x})) e^{- 1.3 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

解题步骤 1.2.15.3.1.5

化简。

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解题步骤 1.2.15.3.1.5.1

将 $- 1.3$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{93.6 ((- 1.3 - 1.3 (6 e^{- 1.3 x}) - 1.3 (9 e^{- 2.6 x})) e^{- 1.3 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

解题步骤 1.2.15.3.1.5.2

将 $6$ 乘以 $- 1.3$ 。

$f'' (x) = \frac{93.6 ((- 1.3 - 7.8 e^{- 1.3 x} - 1.3 (9 e^{- 2.6 x})) e^{- 1.3 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

解题步骤 1.2.15.3.1.5.3

将 $9$ 乘以 $- 1.3$ 。

$f'' (x) = \frac{93.6 ((- 1.3 - 7.8 e^{- 1.3 x} - 11.7 e^{- 2.6 x}) e^{- 1.3 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

解题步骤 1.2.15.3.1.6

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{93.6 (- 1.3 e^{- 1.3 x} - 7.8 e^{- 1.3 x} e^{- 1.3 x} - 11.7 e^{- 2.6 x} e^{- 1.3 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

解题步骤 1.2.15.3.1.7

化简。

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解题步骤 1.2.15.3.1.7.1

通过指数相加将 $e^{- 1.3 x}$ 乘以 $e^{- 1.3 x}$ 。

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解题步骤 1.2.15.3.1.7.1.1

移动 $e^{- 1.3 x}$ 。

$f'' (x) = \frac{93.6 (- 1.3 e^{- 1.3 x} - 7.8 (e^{- 1.3 x} e^{- 1.3 x}) - 11.7 e^{- 2.6 x} e^{- 1.3 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

解题步骤 1.2.15.3.1.7.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{93.6 (- 1.3 e^{- 1.3 x} - 7.8 e^{- 1.3 x - 1.3 x} - 11.7 e^{- 2.6 x} e^{- 1.3 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

解题步骤 1.2.15.3.1.7.1.3

从 $- 1.3 x$ 中减去 $1.3 x$ 。

$f'' (x) = \frac{93.6 (- 1.3 e^{- 1.3 x} - 7.8 e^{- 2.6 x} - 11.7 e^{- 2.6 x} e^{- 1.3 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

解题步骤 1.2.15.3.1.7.2

通过指数相加将 $e^{- 2.6 x}$ 乘以 $e^{- 1.3 x}$ 。

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解题步骤 1.2.15.3.1.7.2.1

移动 $e^{- 1.3 x}$ 。

$f'' (x) = \frac{93.6 (- 1.3 e^{- 1.3 x} - 7.8 e^{- 2.6 x} - 11.7 (e^{- 1.3 x} e^{- 2.6 x})) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

解题步骤 1.2.15.3.1.7.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{93.6 (- 1.3 e^{- 1.3 x} - 7.8 e^{- 2.6 x} - 11.7 e^{- 1.3 x - 2.6 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

解题步骤 1.2.15.3.1.7.2.3

从 $- 1.3 x$ 中减去 $2.6 x$ 。

$f'' (x) = \frac{93.6 (- 1.3 e^{- 1.3 x} - 7.8 e^{- 2.6 x} - 11.7 e^{- 3.9 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

解题步骤 1.2.15.3.1.8

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{93.6 (- 1.3 e^{- 1.3 x}) + 93.6 (- 7.8 e^{- 2.6 x}) + 93.6 (- 11.7 e^{- 3.9 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

解题步骤 1.2.15.3.1.9

化简。

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解题步骤 1.2.15.3.1.9.1

将 $- 1.3$ 乘以 $93.6$ 。

$f'' (x) = \frac{- 121.68 e^{- 1.3 x} + 93.6 (- 7.8 e^{- 2.6 x}) + 93.6 (- 11.7 e^{- 3.9 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

解题步骤 1.2.15.3.1.9.2

将 $- 7.8$ 乘以 $93.6$ 。

$f'' (x) = \frac{- 121.68 e^{- 1.3 x} - 730.08 e^{- 2.6 x} + 93.6 (- 11.7 e^{- 3.9 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

解题步骤 1.2.15.3.1.9.3

将 $- 11.7$ 乘以 $93.6$ 。

$f'' (x) = \frac{- 121.68 e^{- 1.3 x} - 730.08 e^{- 2.6 x} - 1095.12 e^{- 3.9 x} + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} \cdot 1) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

解题步骤 1.2.15.3.1.10

将 $7.8$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{- 121.68 e^{- 1.3 x} - 730.08 e^{- 2.6 x} - 1095.12 e^{- 3.9 x} + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x}) + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

解题步骤 1.2.15.3.1.11

将 $7.8$ 乘以 $93.6$ 。

$f'' (x) = \frac{- 121.68 e^{- 1.3 x} - 730.08 e^{- 2.6 x} - 1095.12 e^{- 3.9 x} + 730.08 e^{- 2.6 x} + 93.6 (7.8 e^{- 2.6 x} (3 e^{- 1.3 x}))}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

解题步骤 1.2.15.3.1.12

通过指数相加将 $e^{- 2.6 x}$ 乘以 $e^{- 1.3 x}$ 。

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解题步骤 1.2.15.3.1.12.1

移动 $e^{- 1.3 x}$ 。

$f'' (x) = \frac{- 121.68 e^{- 1.3 x} - 730.08 e^{- 2.6 x} - 1095.12 e^{- 3.9 x} + 730.08 e^{- 2.6 x} + 93.6 (7.8 (e^{- 1.3 x} e^{- 2.6 x}) \cdot 3)}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

解题步骤 1.2.15.3.1.12.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{- 121.68 e^{- 1.3 x} - 730.08 e^{- 2.6 x} - 1095.12 e^{- 3.9 x} + 730.08 e^{- 2.6 x} + 93.6 (7.8 e^{- 1.3 x - 2.6 x} \cdot 3)}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

解题步骤 1.2.15.3.1.12.3

从 $- 1.3 x$ 中减去 $2.6 x$ 。

$f'' (x) = \frac{- 121.68 e^{- 1.3 x} - 730.08 e^{- 2.6 x} - 1095.12 e^{- 3.9 x} + 730.08 e^{- 2.6 x} + 93.6 (7.8 e^{- 3.9 x} \cdot 3)}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

解题步骤 1.2.15.3.1.13

将 $3$ 乘以 $7.8$ 。

$f'' (x) = \frac{- 121.68 e^{- 1.3 x} - 730.08 e^{- 2.6 x} - 1095.12 e^{- 3.9 x} + 730.08 e^{- 2.6 x} + 93.6 (23.4 e^{- 3.9 x})}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

解题步骤 1.2.15.3.1.14

将 $23.4$ 乘以 $93.6$ 。

$f'' (x) = \frac{- 121.68 e^{- 1.3 x} - 730.08 e^{- 2.6 x} - 1095.12 e^{- 3.9 x} + 730.08 e^{- 2.6 x} + 2190.24 e^{- 3.9 x}}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

解题步骤 1.2.15.3.2

将 $- 730.08 e^{- 2.6 x}$ 和 $730.08 e^{- 2.6 x}$ 相加。

$f'' (x) = \frac{- 121.68 e^{- 1.3 x} + 0 e^{- 2.6 x} - 1095.12 e^{- 3.9 x} + 2190.24 e^{- 3.9 x}}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

解题步骤 1.2.15.3.3

将 $0$ 乘以 $e^{- 2.6 x}$ 。

$f'' (x) = \frac{- 121.68 e^{- 1.3 x} + 0 - 1095.12 e^{- 3.9 x} + 2190.24 e^{- 3.9 x}}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

解题步骤 1.2.15.3.4

将 $- 121.68 e^{- 1.3 x}$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{- 121.68 e^{- 1.3 x} - 1095.12 e^{- 3.9 x} + 2190.24 e^{- 3.9 x}}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

解题步骤 1.2.15.3.5

将 $- 1095.12 e^{- 3.9 x}$ 和 $2190.24 e^{- 3.9 x}$ 相加。

$f'' (x) = \frac{- 121.68 e^{- 1.3 x} + 1095.12 e^{- 3.9 x}}{{(1 + 3 e^{- 1.3 x})}^{4}}$

解题步骤 1.2.15.4

重新排序项。

$f'' (x) = \frac{1095.12 e^{- 3.9 x} - 121.68 e^{- 1.3 x}}{{(3 e^{- 1.3 x} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.15.5

从 $1095.12 e^{- 3.9 x} - 121.68 e^{- 1.3 x}$ 中分解出因数 $121.68$ 。

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解题步骤 1.2.15.5.1

从 $1095.12 e^{- 3.9 x}$ 中分解出因数 $121.68$ 。

$f'' (x) = \frac{121.68 (9 e^{- 3.9 x}) - 121.68 e^{- 1.3 x}}{{(3 e^{- 1.3 x} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.15.5.2

从 $- 121.68 e^{- 1.3 x}$ 中分解出因数 $121.68$ 。

$f'' (x) = \frac{121.68 (9 e^{- 3.9 x}) + 121.68 (- e^{- 1.3 x})}{{(3 e^{- 1.3 x} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.2.15.5.3

从 $121.68 (9 e^{- 3.9 x}) + 121.68 (- e^{- 1.3 x})$ 中分解出因数 $121.68$ 。

$f'' (x) = \frac{121.68 (9 e^{- 3.9 x} - e^{- 1.3 x})}{{(3 e^{- 1.3 x} + 1)}^{4}}$

解题步骤 1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $\frac{121.68 (9 e^{- 3.9 x} - e^{- 1.3 x})}{{(3 e^{- 1.3 x} + 1)}^{4}}$ 。

$\frac{121.68 (9 e^{- 3.9 x} - e^{- 1.3 x})}{{(3 e^{- 1.3 x} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{121.68 (9 e^{- 3.9 x} - e^{- 1.3 x})}{{(3 e^{- 1.3 x} + 1)}^{4}} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{121.68 (9 e^{- 3.9 x} - e^{- 1.3 x})}{{(3 e^{- 1.3 x} + 1)}^{4}} = 0$

解题步骤 2.2

将分子设为等于零。

$121.68 (9 e^{- 3.9 x} - e^{- 1.3 x}) = 0$

解题步骤 2.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 2.3.1

将 $121.68 (9 e^{- 3.9 x} - e^{- 1.3 x}) = 0$ 中的每一项除以 $121.68$ 并化简。

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解题步骤 2.3.1.1

将 $121.68 (9 e^{- 3.9 x} - e^{- 1.3 x}) = 0$ 中的每一项都除以 $121.68$ 。

$\frac{121.68 (9 e^{- 3.9 x} - e^{- 1.3 x})}{121.68} = \frac{0}{121.68}$

解题步骤 2.3.1.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.1.2.1

约去 $121.68$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{121.68 (9 e^{- 3.9 x} - e^{- 1.3 x})}{121.68} = \frac{0}{121.68}$

解题步骤 2.3.1.2.1.2

用 $9 e^{- 3.9 x} - e^{- 1.3 x}$ 除以 $1$ 。

$9 e^{- 3.9 x} - e^{- 1.3 x} = \frac{0}{121.68}$

解题步骤 2.3.1.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.1.3.1

用 $0$ 除以 $121.68$ 。

$9 e^{- 3.9 x} - e^{- 1.3 x} = 0$

解题步骤 2.3.2

通过在等式两边同时加上 $- e^{- 1.3 x}$ 的方法来将其移到等式右边。

$9 e^{- 3.9 x} = e^{- 1.3 x}$

解题步骤 2.3.3

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (9 e^{- 3.9 x}) = \ln (e^{- 1.3 x})$

解题步骤 2.3.4

展开左边。

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解题步骤 2.3.4.1

将 $\ln (9 e^{- 3.9 x})$ 重写为 $\ln (9) + \ln (e^{- 3.9 x})$ 。

$\ln (9) + \ln (e^{- 3.9 x}) = \ln (e^{- 1.3 x})$

解题步骤 2.3.4.2

通过将 $- 3.9 x$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{- 3.9 x})$ 。

$\ln (9) - 3.9 x \ln (e) = \ln (e^{- 1.3 x})$

解题步骤 2.3.4.3

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$\ln (9) - 3.9 x \cdot 1 = \ln (e^{- 1.3 x})$

解题步骤 2.3.4.4

将 $- 3.9$ 乘以 $1$ 。

$\ln (9) - 3.9 x = \ln (e^{- 1.3 x})$

解题步骤 2.3.5

展开右边。

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解题步骤 2.3.5.1

通过将 $- 1.3 x$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{- 1.3 x})$ 。

$\ln (9) - 3.9 x = - 1.3 x \ln (e)$

解题步骤 2.3.5.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$\ln (9) - 3.9 x = - 1.3 x \cdot 1$

解题步骤 2.3.5.3

将 $- 1.3$ 乘以 $1$ 。

$\ln (9) - 3.9 x = - 1.3 x$

解题步骤 2.3.6

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 2.3.6.1

在等式两边都加上 $1.3 x$ 。

$\ln (9) - 3.9 x + 1.3 x = 0$

解题步骤 2.3.6.2

将 $- 3.9 x$ 和 $1.3 x$ 相加。

$\ln (9) - 2.6 x = 0$

解题步骤 2.3.7

从等式两边同时减去 $\ln (9)$ 。

$- 2.6 x = - \ln (9)$

解题步骤 2.3.8

将 $- 2.6 x = - \ln (9)$ 中的每一项除以 $- 2.6$ 并化简。

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解题步骤 2.3.8.1

将 $- 2.6 x = - \ln (9)$ 中的每一项都除以 $- 2.6$ 。

$\frac{- 2.6 x}{- 2.6} = \frac{- \ln (9)}{- 2.6}$

解题步骤 2.3.8.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.8.2.1

约去 $- 2.6$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.8.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 2.6 x}{- 2.6} = \frac{- \ln (9)}{- 2.6}$

解题步骤 2.3.8.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- \ln (9)}{- 2.6}$

解题步骤 2.3.8.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.8.3.1

将两个负数相除得到一个正数。

$x = \frac{\ln (9)}{2.6}$

解题步骤 2.3.8.3.2

使用近似值替换 $e$ 。

$x = \frac{\log_{2.71828182} (9)}{2.6}$

解题步骤 2.3.8.3.3

$9$ 的底数 $2.71828182$ 约为 $2.19722457$ 。

$x = \frac{2.19722457}{2.6}$

解题步骤 2.3.8.3.4

用 $2.19722457$ 除以 $2.6$ 。

$x = 0.84508637$

解题步骤 3

求二阶导数为 $0$ 的点。

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解题步骤 3.1

将 $0.84508637$ 代入 $f (x) = \frac{24}{1 + 3 e^{- 1.3 x}}$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 3.1.1

使用表达式中的 $0.84508637$ 替换变量 $x$ 。

$f (0.84508637) = \frac{24}{1 + 3 e^{- 1.3 \cdot 0.84508637}}$

解题步骤 3.1.2

化简结果。

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解题步骤 3.1.2.1

化简分母。

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解题步骤 3.1.2.1.1

将 $- 1.3$ 乘以 $0.84508637$ 。

$f (0.84508637) = \frac{24}{1 + 3 e^{- 1.09861228}}$

解题步骤 3.1.2.1.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f (0.84508637) = \frac{24}{1 + 3 (\frac{1}{e^{1.09861228}})}$

解题步骤 3.1.2.1.3

组合 $3$ 和 $\frac{1}{e^{1.09861228}}$ 。

$f (0.84508637) = \frac{24}{1 + \frac{3}{e^{1.09861228}}}$

解题步骤 3.1.2.1.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f (0.84508637) = \frac{24}{\frac{e^{1.09861228}}{e^{1.09861228}} + \frac{3}{e^{1.09861228}}}$

解题步骤 3.1.2.1.5

在公分母上合并分子。

$f (0.84508637) = \frac{24}{\frac{e^{1.09861228} + 3}{e^{1.09861228}}}$

解题步骤 3.1.2.2

将分子乘以分母的倒数。

$f (0.84508637) = 24 (\frac{e^{1.09861228}}{e^{1.09861228} + 3})$

解题步骤 3.1.2.3

组合 $24$ 和 $\frac{e^{1.09861228}}{e^{1.09861228} + 3}$ 。

$f (0.84508637) = \frac{24 e^{1.09861228}}{e^{1.09861228} + 3}$

解题步骤 3.1.2.4

最终答案为 $\frac{24 e^{1.09861228}}{e^{1.09861228} + 3}$ 。

$\frac{24 e^{1.09861228}}{e^{1.09861228} + 3}$

解题步骤 3.2

通过将 $0.84508637$ 代入 $f (x) = \frac{24}{1 + 3 e^{- 1.3 x}}$ 中求得的点为 $(0.84508637, \frac{24 e^{1.09861228}}{e^{1.09861228} + 3})$ 。这个点可能是一个拐点。

$(0.84508637, \frac{24 e^{1.09861228}}{e^{1.09861228} + 3})$

解题步骤 4

分解 $(- \infty, \infty)$ 到各点周围的区间中，这些点有可能是拐点。

$(- \infty, 0.84508637) \cup (0.84508637, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, 0.84508637)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $0.74508637$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0.74508637) = \frac{121.68 (9 e^{- 3.9 \cdot 0.74508637} - e^{- 1.3 \cdot 0.74508637})}{{(3 e^{- 1.3 \cdot 0.74508637} + 1)}^{4}}$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

将 $121.68$ 乘以 $9 e^{- 3.9 \cdot 0.74508637} - e^{- 1.3 \cdot 0.74508637}$ 。

$f'' (0.74508637) = \frac{13.71546177}{{(3 e^{- 1.3 \cdot 0.74508637} + 1)}^{4}}$

解题步骤 5.2.2

化简分母。

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解题步骤 5.2.2.1

将 $- 1.3$ 乘以 $0.74508637$ 。

$f'' (0.74508637) = \frac{13.71546177}{{(3 e^{- 0.96861228} + 1)}^{4}}$

解题步骤 5.2.2.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f'' (0.74508637) = \frac{13.71546177}{{(3 (\frac{1}{e^{0.96861228}}) + 1)}^{4}}$

解题步骤 5.2.2.3

组合 $3$ 和 $\frac{1}{e^{0.96861228}}$ 。

$f'' (0.74508637) = \frac{13.71546177}{{(\frac{3}{e^{0.96861228}} + 1)}^{4}}$

解题步骤 5.2.2.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f'' (0.74508637) = \frac{13.71546177}{{(\frac{3}{e^{0.96861228}} + \frac{e^{0.96861228}}{e^{0.96861228}})}^{4}}$

解题步骤 5.2.2.5

在公分母上合并分子。

$f'' (0.74508637) = \frac{13.71546177}{{(\frac{3 + e^{0.96861228}}{e^{0.96861228}})}^{4}}$

解题步骤 5.2.2.6

对 $\frac{3 + e^{0.96861228}}{e^{0.96861228}}$ 运用乘积法则。

$f'' (0.74508637) = \frac{13.71546177}{\frac{{(3 + e^{0.96861228})}^{4}}{{(e^{0.96861228})}^{4}}}$

解题步骤 5.2.2.7

将 ${(e^{0.96861228})}^{4}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.2.7.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (0.74508637) = \frac{13.71546177}{\frac{{(3 + e^{0.96861228})}^{4}}{e^{0.96861228 \cdot 4}}}$

解题步骤 5.2.2.7.2

将 $0.96861228$ 乘以 $4$ 。

$f'' (0.74508637) = \frac{13.71546177}{\frac{{(3 + e^{0.96861228})}^{4}}{e^{3.87444915}}}$

解题步骤 5.2.3

将分子乘以分母的倒数。

$f'' (0.74508637) = 13.71546177 (\frac{e^{3.87444915}}{{(3 + e^{0.96861228})}^{4}})$

解题步骤 5.2.4

乘以 $13.71546177 \frac{e^{3.87444915}}{{(3 + e^{0.96861228})}^{4}}$ 。

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解题步骤 5.2.4.1

组合 $13.71546177$ 和 $\frac{e^{3.87444915}}{{(3 + e^{0.96861228})}^{4}}$ 。

$f'' (0.74508637) = \frac{13.71546177 e^{3.87444915}}{{(3 + e^{0.96861228})}^{4}}$

解题步骤 5.2.4.2

将 $13.71546177$ 乘以 $e^{3.87444915}$ 。

$f'' (0.74508637) = \frac{660.48403172}{{(3 + e^{0.96861228})}^{4}}$

解题步骤 5.2.5

使用近似值替换 $e$ 。

$f'' (0.74508637) = \frac{660.48403172}{{(3 + {2.71828182}^{0.96861228})}^{4}}$

解题步骤 5.2.6

对 $2.71828182$ 进行 $0.96861228$ 次方运算。

$f'' (0.74508637) = \frac{660.48403172}{{(3 + 2.63428629)}^{4}}$

解题步骤 5.2.7

将 $3$ 和 $2.63428629$ 相加。

$f'' (0.74508637) = \frac{660.48403172}{{5.63428629}^{4}}$

解题步骤 5.2.8

对 $5.63428629$ 进行 $4$ 次方运算。

$f'' (0.74508637) = \frac{660.48403172}{1007.75658204}$

解题步骤 5.2.9

用 $660.48403172$ 除以 $1007.75658204$ 。

$f'' (0.74508637) = 0.65540036$

解题步骤 5.2.10

最终答案为 $0.65540036$ 。

$0.65540036$

解题步骤 5.3

在 $0.74508637$ 处，二阶导数为 $0.65540036$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(- \infty, 0.84508637)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- \infty, 0.84508637)$ 上递增

解题步骤 6

将区间 $(0.84508637, \infty)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $0.94508637$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0.94508637) = \frac{121.68 (9 e^{- 3.9 \cdot 0.94508637} - e^{- 1.3 \cdot 0.94508637})}{{(3 e^{- 1.3 \cdot 0.94508637} + 1)}^{4}}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

将 $121.68$ 乘以 $9 e^{- 3.9 \cdot 0.94508637} - e^{- 1.3 \cdot 0.94508637}$ 。

$f'' (0.94508637) = \frac{- 8.15412384}{{(3 e^{- 1.3 \cdot 0.94508637} + 1)}^{4}}$

解题步骤 6.2.2

化简分母。

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解题步骤 6.2.2.1

将 $- 1.3$ 乘以 $0.94508637$ 。

$f'' (0.94508637) = \frac{- 8.15412384}{{(3 e^{- 1.22861228} + 1)}^{4}}$

解题步骤 6.2.2.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f'' (0.94508637) = \frac{- 8.15412384}{{(3 (\frac{1}{e^{1.22861228}}) + 1)}^{4}}$

解题步骤 6.2.2.3

组合 $3$ 和 $\frac{1}{e^{1.22861228}}$ 。

$f'' (0.94508637) = \frac{- 8.15412384}{{(\frac{3}{e^{1.22861228}} + 1)}^{4}}$

解题步骤 6.2.2.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f'' (0.94508637) = \frac{- 8.15412384}{{(\frac{3}{e^{1.22861228}} + \frac{e^{1.22861228}}{e^{1.22861228}})}^{4}}$

解题步骤 6.2.2.5

在公分母上合并分子。

$f'' (0.94508637) = \frac{- 8.15412384}{{(\frac{3 + e^{1.22861228}}{e^{1.22861228}})}^{4}}$

解题步骤 6.2.2.6

对 $\frac{3 + e^{1.22861228}}{e^{1.22861228}}$ 运用乘积法则。

$f'' (0.94508637) = \frac{- 8.15412384}{\frac{{(3 + e^{1.22861228})}^{4}}{{(e^{1.22861228})}^{4}}}$

解题步骤 6.2.2.7

将 ${(e^{1.22861228})}^{4}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.2.2.7.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (0.94508637) = \frac{- 8.15412384}{\frac{{(3 + e^{1.22861228})}^{4}}{e^{1.22861228 \cdot 4}}}$

解题步骤 6.2.2.7.2

将 $1.22861228$ 乘以 $4$ 。

$f'' (0.94508637) = \frac{- 8.15412384}{\frac{{(3 + e^{1.22861228})}^{4}}{e^{4.91444915}}}$

解题步骤 6.2.3

将分子乘以分母的倒数。

$f'' (0.94508637) = - 8.15412384 \frac{e^{4.91444915}}{{(3 + e^{1.22861228})}^{4}}$

解题步骤 6.2.4

乘以 $- 8.15412384 \frac{e^{4.91444915}}{{(3 + e^{1.22861228})}^{4}}$ 。

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解题步骤 6.2.4.1

组合 $- 8.15412384$ 和 $\frac{e^{4.91444915}}{{(3 + e^{1.22861228})}^{4}}$ 。

$f'' (0.94508637) = \frac{- 8.15412384 e^{4.91444915}}{{(3 + e^{1.22861228})}^{4}}$

解题步骤 6.2.4.2

将 $- 8.15412384$ 乘以 $e^{4.91444915}$ 。

$f'' (0.94508637) = \frac{- 1110.95240355}{{(3 + e^{1.22861228})}^{4}}$

解题步骤 6.2.5

将负号移到分数的前面。

$f'' (0.94508637) = - \frac{1110.95240355}{{(3 + e^{1.22861228})}^{4}}$

解题步骤 6.2.6

使用近似值替换 $e$ 。

$f'' (0.94508637) = - \frac{1110.95240355}{{(3 + {2.71828182}^{1.22861228})}^{4}}$

解题步骤 6.2.7

对 $2.71828182$ 进行 $1.22861228$ 次方运算。

$f'' (0.94508637) = - \frac{1110.95240355}{{(3 + 3.41648514)}^{4}}$

解题步骤 6.2.8

将 $3$ 和 $3.41648514$ 相加。

$f'' (0.94508637) = - \frac{1110.95240355}{{6.41648514}^{4}}$

解题步骤 6.2.9

对 $6.41648514$ 进行 $4$ 次方运算。

$f'' (0.94508637) = - \frac{1110.95240355}{1695.07443516}$

解题步骤 6.2.10

用 $1110.95240355$ 除以 $1695.07443516$ 。

$f'' (0.94508637) = - 1 \cdot 0.65540036$

解题步骤 6.2.11

将 $- 1$ 乘以 $0.65540036$ 。

$f'' (0.94508637) = - 0.65540036$

解题步骤 6.2.12

最终答案为 $- 0.65540036$ 。

$- 0.65540036$

解题步骤 6.3

在 $0.94508637$ ，二阶导数为 $- 0.65540036$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(0.84508637, \infty)$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(0.84508637, \infty)$ 上递减

解题步骤 7

曲线上的拐点是该曲线凹凸性符号由正变为负或由负变为正时的点。本例中，拐点为 $(0.84508637, \frac{24 e^{1.09861228}}{e^{1.09861228} + 3})$ 。

$(0.84508637, \frac{24 e^{1.09861228}}{e^{1.09861228} + 3})$

解题步骤 8

代数 示例

代数示例