代数示例

$- 2 x + 3 y = 2$ , $5 x - 3 y = 8$

解题步骤 1

以矩阵形式表示方程组。

$[\begin{array}{c} - 2 & 3 \\ 5 & - 3 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 2 \\ 8 \end{array}]$

解题步骤 2

求系数矩阵 $[\begin{array}{c} - 2 & 3 \\ 5 & - 3 \end{array}]$ 的行列式。

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解题步骤 2.1

用行列式书写 $[\begin{array}{c} - 2 & 3 \\ 5 & - 3 \end{array}]$ 。

$| \begin{array}{c} - 2 & 3 \\ 5 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 2.2

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$- 2 \cdot - 3 - 5 \cdot 3$

解题步骤 2.3

化简行列式。

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解题步骤 2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.1.1

将 $- 2$ 乘以 $- 3$ 。

$6 - 5 \cdot 3$

解题步骤 2.3.1.2

将 $- 5$ 乘以 $3$ 。

$6 - 15$

解题步骤 2.3.2

从 $6$ 中减去 $15$ 。

$- 9$

$D = - 9$

解题步骤 3

由于行列式不为 $0$ ，方程组可以用克莱姆法则求解。

解题步骤 4

使用克莱姆法则求 $x$ 的值，即 $x = \frac{D_{x}}{D}$ 。

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解题步骤 4.1

将方程组的 $x$ 系数对应的系数矩阵的列 $1$ 替换为 $[\begin{array}{c} 2 \\ 8 \end{array}]$ 。

$| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 8 & - 3 \end{array} |$

解题步骤 4.2

求行列式。

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解题步骤 4.2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$2 \cdot - 3 - 8 \cdot 3$

解题步骤 4.2.2

化简行列式。

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解题步骤 4.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.2.1.1

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$- 6 - 8 \cdot 3$

解题步骤 4.2.2.1.2

将 $- 8$ 乘以 $3$ 。

$- 6 - 24$

解题步骤 4.2.2.2

从 $- 6$ 中减去 $24$ 。

$- 30$

$D_{x} = - 30$

解题步骤 4.3

用公式求解 $x$ 。

$x = \frac{D_{x}}{D}$

解题步骤 4.4

在公式中将 $D$ 替换为 $- 9$ ，将 $D_{x}$ 替换为 $- 30$ 。

$x = \frac{- 30}{- 9}$

解题步骤 4.5

约去 $- 30$ 和 $- 9$ 的公因数。

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解题步骤 4.5.1

从 $- 30$ 中分解出因数 $- 3$ 。

$x = \frac{- 3 (10)}{- 9}$

解题步骤 4.5.2

约去公因数。

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解题步骤 4.5.2.1

从 $- 9$ 中分解出因数 $- 3$ 。

$x = \frac{- 3 \cdot 10}{- 3 \cdot 3}$

解题步骤 4.5.2.2

约去公因数。

$x = \frac{- 3 \cdot 10}{- 3 \cdot 3}$

解题步骤 4.5.2.3

重写表达式。

$x = \frac{10}{3}$

解题步骤 5

使用克莱姆法则求 $y$ 的值，即 $y = \frac{D_{y}}{D}$ 。

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解题步骤 5.1

将方程组的 $y$ 系数对应的系数矩阵的列 $2$ 替换为 $[\begin{array}{c} 2 \\ 8 \end{array}]$ 。

$| \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 5 & 8 \end{array} |$

解题步骤 5.2

求行列式。

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解题步骤 5.2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$- 2 \cdot 8 - 5 \cdot 2$

解题步骤 5.2.2

化简行列式。

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解题步骤 5.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.2.1.1

将 $- 2$ 乘以 $8$ 。

$- 16 - 5 \cdot 2$

解题步骤 5.2.2.1.2

将 $- 5$ 乘以 $2$ 。

$- 16 - 10$

解题步骤 5.2.2.2

从 $- 16$ 中减去 $10$ 。

$- 26$

$D_{y} = - 26$

解题步骤 5.3

用公式求解 $y$ 。

$y = \frac{D_{y}}{D}$

解题步骤 5.4

在公式中将 $D$ 替换为 $- 9$ ，将 $D_{y}$ 替换为 $- 26$ 。

$y = \frac{- 26}{- 9}$

解题步骤 5.5

将两个负数相除得到一个正数。

$y = \frac{26}{9}$

解题步骤 6

列出方程组的解。

$x = \frac{10}{3}$

$y = \frac{26}{9}$

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