代数示例

$f (x) = 2 e^{x} - 3 x e^{x}$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int 2 e^{x} - 3 x e^{x} d x$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 2 e^{x} d x + \int - 3 x e^{x} d x$

解题步骤 4

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int e^{x} d x + \int - 3 x e^{x} d x$

解题步骤 5

$e^{x}$ 对 $x$ 的积分为 $e^{x}$ 。

$2 (e^{x} + C) + \int - 3 x e^{x} d x$

解题步骤 6

由于 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 3$ 移到积分外。

$2 (e^{x} + C) - 3 \int x e^{x} d x$

解题步骤 7

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = e^{x}$ 。

$2 (e^{x} + C) - 3 (x e^{x} - \int e^{x} d x)$

解题步骤 8

$e^{x}$ 对 $x$ 的积分为 $e^{x}$ 。

$2 (e^{x} + C) - 3 (x e^{x} - (e^{x} + C))$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

化简。

$2 e^{x} - 3 x e^{x} + 3 e^{x} + C$

解题步骤 9.2

将 $2 e^{x}$ 和 $3 e^{x}$ 相加。

$- 3 x e^{x} + 5 e^{x} + C$

$- 3 x e^{x} + 5 e^{x} + C$

解题步骤 10

答案是函数 $f (x) = 2 e^{x} - 3 x e^{x}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $- 3 x e^{x} + 5 e^{x} + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$