代数示例

$5 x + 4 y = 8$ , $6 x - 3 y = 33$

解题步骤 1

从方程组中求 $A X = B$ 。

$[\begin{array}{c} 5 & 4 \\ 6 & - 3 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 8 \\ 33 \end{array}]$

解题步骤 2

求系数矩阵的逆矩阵。

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解题步骤 2.1

$2 \times 2$ 矩阵的逆矩阵可以通过使用公式 $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ 求得，其中 $a d - b c$ 是行列式。

解题步骤 2.2

求行列式。

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解题步骤 2.2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$5 \cdot - 3 - 6 \cdot 4$

解题步骤 2.2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.2.1.1

将 $5$ 乘以 $- 3$ 。

$- 15 - 6 \cdot 4$

解题步骤 2.2.2.1.2

将 $- 6$ 乘以 $4$ 。

$- 15 - 24$

解题步骤 2.2.2.2

从 $- 15$ 中减去 $24$ 。

$- 39$

解题步骤 2.3

由于行列式非零，所以逆存在。

解题步骤 2.4

将已知值代入逆的公式中。

$\frac{1}{- 39} [\begin{array}{c} - 3 & - 4 \\ - 6 & 5 \end{array}]$

解题步骤 2.5

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{39} [\begin{array}{c} - 3 & - 4 \\ - 6 & 5 \end{array}]$

解题步骤 2.6

将 $- \frac{1}{39}$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{39} \cdot - 3 & - \frac{1}{39} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{39} \cdot - 6 & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

解题步骤 2.7

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 2.7.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.7.1.1

将 $- \frac{1}{39}$ 中前置负号移到分子中。

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{39} \cdot - 3 & - \frac{1}{39} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{39} \cdot - 6 & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

解题步骤 2.7.1.2

从 $39$ 中分解出因数 $3$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{3 (13)} \cdot - 3 & - \frac{1}{39} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{39} \cdot - 6 & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

解题步骤 2.7.1.3

从 $- 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{3 \cdot 13} \cdot (3 \cdot - 1) & - \frac{1}{39} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{39} \cdot - 6 & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

解题步骤 2.7.1.4

约去公因数。

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{3 \cdot 13} \cdot (3 \cdot - 1) & - \frac{1}{39} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{39} \cdot - 6 & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

解题步骤 2.7.1.5

重写表达式。

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{13} \cdot - 1 & - \frac{1}{39} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{39} \cdot - 6 & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

解题步骤 2.7.2

组合 $\frac{- 1}{13}$ 和 $- 1$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{- - 1}{13} & - \frac{1}{39} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{39} \cdot - 6 & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

解题步骤 2.7.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & - \frac{1}{39} \cdot - 4 \\ - \frac{1}{39} \cdot - 6 & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

解题步骤 2.7.4

乘以 $- \frac{1}{39} \cdot - 4$ 。

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解题步骤 2.7.4.1

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & 4 (\frac{1}{39}) \\ - \frac{1}{39} \cdot - 6 & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

解题步骤 2.7.4.2

组合 $4$ 和 $\frac{1}{39}$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ - \frac{1}{39} \cdot - 6 & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

解题步骤 2.7.5

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.7.5.1

将 $- \frac{1}{39}$ 中前置负号移到分子中。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{- 1}{39} \cdot - 6 & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

解题步骤 2.7.5.2

从 $39$ 中分解出因数 $3$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{- 1}{3 (13)} \cdot - 6 & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

解题步骤 2.7.5.3

从 $- 6$ 中分解出因数 $3$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{- 1}{3 \cdot 13} \cdot (3 \cdot - 2) & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

解题步骤 2.7.5.4

约去公因数。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{- 1}{3 \cdot 13} \cdot (3 \cdot - 2) & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

解题步骤 2.7.5.5

重写表达式。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{- 1}{13} \cdot - 2 & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

解题步骤 2.7.6

组合 $\frac{- 1}{13}$ 和 $- 2$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{- - 2}{13} & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

解题步骤 2.7.7

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{2}{13} & - \frac{1}{39} \cdot 5 \end{array}]$

解题步骤 2.7.8

乘以 $- \frac{1}{39} \cdot 5$ 。

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解题步骤 2.7.8.1

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{2}{13} & - 5 (\frac{1}{39}) \end{array}]$

解题步骤 2.7.8.2

组合 $- 5$ 和 $\frac{1}{39}$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{2}{13} & \frac{- 5}{39} \end{array}]$

解题步骤 2.7.9

将负号移到分数的前面。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{2}{13} & - \frac{5}{39} \end{array}]$

解题步骤 3

对矩阵方程的两边同时左乘逆矩阵。

$([\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{2}{13} & - \frac{5}{39} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 5 & 4 \\ 6 & - 3 \end{array}]) \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{2}{13} & - \frac{5}{39} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 8 \\ 33 \end{array}]$

解题步骤 4

任何矩阵与其逆矩阵的乘积始终等于 $1$ 。 $A \cdot A^{- 1} = 1$ 。

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{2}{13} & - \frac{5}{39} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 8 \\ 33 \end{array}]$

解题步骤 5

乘以 $[\begin{array}{c} \frac{1}{13} & \frac{4}{39} \\ \frac{2}{13} & - \frac{5}{39} \end{array}] [\begin{array}{c} 8 \\ 33 \end{array}]$ 。

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解题步骤 5.1

当且仅当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，这两个矩阵才可以相乘。在本例中，第一个矩阵是 $2 \times 2$ ，第二个矩阵是 $2 \times 1$ 。

解题步骤 5.2

将第一个矩阵中的每一行乘以第二个矩阵中的每一列。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{13} \cdot 8 + \frac{4}{39} \cdot 33 \\ \frac{2}{13} \cdot 8 - \frac{5}{39} \cdot 33 \end{array}]$

解题步骤 5.3

通过展开所有表达式化简矩阵的每一个元素。

$[\begin{array}{c} 4 \\ - 3 \end{array}]$

解题步骤 6

化简左右两边。

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 4 \\ - 3 \end{array}]$

解题步骤 7

求解。

$x = 4$

$y = - 3$

代数 示例

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