代数示例

${(\sqrt{3} (\cos (\frac{5 π}{12}) + i \sin (\frac{5 π}{12})))}^{4}$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

$\cos (\frac{5 π}{12})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ 。

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解题步骤 1.1.1

将 $\frac{5 π}{12}$ 拆分为两个角，其中六个三角函数的值为已知。

${(\sqrt{3} (\cos (\frac{π}{6} + \frac{π}{4}) + i \sin (\frac{5 π}{12})))}^{4}$

解题步骤 1.1.2

使用两角和的公式 $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ 。

${(\sqrt{3} (\cos (\frac{π}{6}) \cos (\frac{π}{4}) - \sin (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{5 π}{12})))}^{4}$

解题步骤 1.1.3

$\cos (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{3}}{2} \cos (\frac{π}{4}) - \sin (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{5 π}{12})))}^{4}$

解题步骤 1.1.4

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{5 π}{12})))}^{4}$

解题步骤 1.1.5

$\sin (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \sin (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{5 π}{12})))}^{4}$

解题步骤 1.1.6

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sin (\frac{5 π}{12})))}^{4}$

解题步骤 1.1.7

化简 $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 1.1.7.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.7.1.1

乘以 $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 1.1.7.1.1.1

将 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sin (\frac{5 π}{12})))}^{4}$

解题步骤 1.1.7.1.1.2

使用根数乘积法则进行合并。

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sin (\frac{5 π}{12})))}^{4}$

解题步骤 1.1.7.1.1.3

将 $3$ 乘以 $2$ 。

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sin (\frac{5 π}{12})))}^{4}$

解题步骤 1.1.7.1.1.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sin (\frac{5 π}{12})))}^{4}$

解题步骤 1.1.7.1.2

乘以 $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 1.1.7.1.2.1

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + i \sin (\frac{5 π}{12})))}^{4}$

解题步骤 1.1.7.1.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} + i \sin (\frac{5 π}{12})))}^{4}$

解题步骤 1.1.7.2

在公分母上合并分子。

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i \sin (\frac{5 π}{12})))}^{4}$

解题步骤 1.2

$\sin (\frac{5 π}{12})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ 。

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解题步骤 1.2.1

将 $\frac{5 π}{12}$ 拆分为两个角，其中六个三角函数的值为已知。

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i \sin (\frac{π}{6} + \frac{π}{4})))}^{4}$

解题步骤 1.2.2

使用两角和公式。

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i (\sin (\frac{π}{6}) \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4}))))}^{4}$

解题步骤 1.2.3

$\sin (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i (\frac{1}{2} \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4}))))}^{4}$

解题步骤 1.2.4

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4}))))}^{4}$

解题步骤 1.2.5

$\cos (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (\frac{π}{4}))))}^{4}$

解题步骤 1.2.6

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})))}^{4}$

解题步骤 1.2.7

化简 $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 1.2.7.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.7.1.1

乘以 $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 1.2.7.1.1.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})))}^{4}$

解题步骤 1.2.7.1.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})))}^{4}$

解题步骤 1.2.7.1.2

乘以 $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 1.2.7.1.2.1

将 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2})))}^{4}$

解题步骤 1.2.7.1.2.2

使用根数乘积法则进行合并。

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2})))}^{4}$

解题步骤 1.2.7.1.2.3

将 $3$ 乘以 $2$ 。

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2})))}^{4}$

解题步骤 1.2.7.1.2.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4})))}^{4}$

解题步骤 1.2.7.2

在公分母上合并分子。

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}))}^{4}$

解题步骤 1.3

组合 $i$ 和 $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ 。

${(\sqrt{3} (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{i (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{4}))}^{4}$

解题步骤 2

合并分数。

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解题步骤 2.1

在公分母上合并分子。

${(\sqrt{3} \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + i \sqrt{2} + i \sqrt{6}}{4})}^{4}$

解题步骤 2.2

组合 $\sqrt{3}$ 和 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + i \sqrt{2} + i \sqrt{6}}{4}$ 。

${(\frac{\sqrt{3} (\sqrt{6} - \sqrt{2} + i \sqrt{2} + i \sqrt{6})}{4})}^{4}$

解题步骤 3

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 3.1

对 $\frac{\sqrt{3} (\sqrt{6} - \sqrt{2} + i \sqrt{2} + i \sqrt{6})}{4}$ 运用乘积法则。

$\frac{{(\sqrt{3} (\sqrt{6} - \sqrt{2} + i \sqrt{2} + i \sqrt{6}))}^{4}}{4^{4}}$

解题步骤 3.2

对 $\sqrt{3} (\sqrt{6} - \sqrt{2} + i \sqrt{2} + i \sqrt{6})$ 运用乘积法则。

$\frac{{\sqrt{3}}^{4} {(\sqrt{6} - \sqrt{2} + i \sqrt{2} + i \sqrt{6})}^{4}}{4^{4}}$

解题步骤 4

化简分子。

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解题步骤 4.1

将 ${\sqrt{3}}^{4}$ 重写为 $3^{2}$ 。

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解题步骤 4.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{4} {(\sqrt{6} - \sqrt{2} + i \sqrt{2} + i \sqrt{6})}^{4}}{4^{4}}$

解题步骤 4.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 4} {(\sqrt{6} - \sqrt{2} + i \sqrt{2} + i \sqrt{6})}^{4}}{4^{4}}$

解题步骤 4.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$\frac{3^{\frac{4}{2}} {(\sqrt{6} - \sqrt{2} + i \sqrt{2} + i \sqrt{6})}^{4}}{4^{4}}$

解题步骤 4.1.4

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2}} {(\sqrt{6} - \sqrt{2} + i \sqrt{2} + i \sqrt{6})}^{4}}{4^{4}}$

解题步骤 4.1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 4.1.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} {(\sqrt{6} - \sqrt{2} + i \sqrt{2} + i \sqrt{6})}^{4}}{4^{4}}$

解题步骤 4.1.4.2.2

约去公因数。

$\frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} {(\sqrt{6} - \sqrt{2} + i \sqrt{2} + i \sqrt{6})}^{4}}{4^{4}}$

解题步骤 4.1.4.2.3

重写表达式。

$\frac{3^{\frac{2}{1}} {(\sqrt{6} - \sqrt{2} + i \sqrt{2} + i \sqrt{6})}^{4}}{4^{4}}$

解题步骤 4.1.4.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$\frac{3^{2} {(\sqrt{6} - \sqrt{2} + i \sqrt{2} + i \sqrt{6})}^{4}}{4^{4}}$

解题步骤 4.2

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{9 {(\sqrt{6} - \sqrt{2} + i \sqrt{2} + i \sqrt{6})}^{4}}{4^{4}}$

解题步骤 5

对 $4$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{9 {(\sqrt{6} - \sqrt{2} + i \sqrt{2} + i \sqrt{6})}^{4}}{256}$

代数 示例

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