代数示例

${(4 (\cos (105) + i \sin (105)))}^{3}$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

$\cos (105)$ 的准确值为 $- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ 。

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解题步骤 1.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

${(4 (- \cos (75) + i \sin (105)))}^{3}$

解题步骤 1.1.2

将 $75$ 拆分为两个角，其中六个三角函数的值为已知。

${(4 (- \cos (30 + 45) + i \sin (105)))}^{3}$

解题步骤 1.1.3

使用两角和的公式 $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ 。

${(4 (- (\cos (30) \cos (45) - \sin (30) \sin (45)) + i \sin (105)))}^{3}$

解题步骤 1.1.4

$\cos (30)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

${(4 (- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cos (45) - \sin (30) \sin (45)) + i \sin (105)))}^{3}$

解题步骤 1.1.5

$\cos (45)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

${(4 (- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (30) \sin (45)) + i \sin (105)))}^{3}$

解题步骤 1.1.6

$\sin (30)$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

${(4 (- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \sin (45)) + i \sin (105)))}^{3}$

解题步骤 1.1.7

$\sin (45)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

${(4 (- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) + i \sin (105)))}^{3}$

解题步骤 1.1.8

化简 $- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$ 。

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解题步骤 1.1.8.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.8.1.1

乘以 $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 1.1.8.1.1.1

将 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

${(4 (- (\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) + i \sin (105)))}^{3}$

解题步骤 1.1.8.1.1.2

使用根数乘积法则进行合并。

${(4 (- (\frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) + i \sin (105)))}^{3}$

解题步骤 1.1.8.1.1.3

将 $3$ 乘以 $2$ 。

${(4 (- (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) + i \sin (105)))}^{3}$

解题步骤 1.1.8.1.1.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

${(4 (- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) + i \sin (105)))}^{3}$

解题步骤 1.1.8.1.2

乘以 $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 1.1.8.1.2.1

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

${(4 (- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) + i \sin (105)))}^{3}$

解题步骤 1.1.8.1.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

${(4 (- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}) + i \sin (105)))}^{3}$

解题步骤 1.1.8.2

在公分母上合并分子。

${(4 (- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i \sin (105)))}^{3}$

解题步骤 1.2

$\sin (105)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ 。

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解题步骤 1.2.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

${(4 (- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i \sin (75)))}^{3}$

解题步骤 1.2.2

将 $75$ 拆分为两个角，其中六个三角函数的值为已知。

${(4 (- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i \sin (30 + 45)))}^{3}$

解题步骤 1.2.3

使用两角和公式。

${(4 (- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i (\sin (30) \cos (45) + \cos (30) \sin (45))))}^{3}$

解题步骤 1.2.4

$\sin (30)$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

${(4 (- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i (\frac{1}{2} \cos (45) + \cos (30) \sin (45))))}^{3}$

解题步骤 1.2.5

$\cos (45)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

${(4 (- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (30) \sin (45))))}^{3}$

解题步骤 1.2.6

$\cos (30)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

${(4 (- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (45))))}^{3}$

解题步骤 1.2.7

$\sin (45)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

${(4 (- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})))}^{3}$

解题步骤 1.2.8

化简 $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 1.2.8.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.8.1.1

乘以 $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 1.2.8.1.1.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

${(4 (- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})))}^{3}$

解题步骤 1.2.8.1.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

${(4 (- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})))}^{3}$

解题步骤 1.2.8.1.2

乘以 $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 1.2.8.1.2.1

将 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

${(4 (- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2})))}^{3}$

解题步骤 1.2.8.1.2.2

使用根数乘积法则进行合并。

${(4 (- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2})))}^{3}$

解题步骤 1.2.8.1.2.3

将 $3$ 乘以 $2$ 。

${(4 (- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2})))}^{3}$

解题步骤 1.2.8.1.2.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

${(4 (- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4})))}^{3}$

解题步骤 1.2.8.2

在公分母上合并分子。

${(4 (- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}))}^{3}$

解题步骤 1.3

组合 $i$ 和 $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ 。

${(4 (- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{i (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{4}))}^{3}$

解题步骤 2

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 2.1

在公分母上合并分子。

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解题步骤 2.1.1

运用分配律。

${(4 \frac{- \sqrt{6} - - \sqrt{2} + i (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{4})}^{3}$

解题步骤 2.1.2

乘以 $- - \sqrt{2}$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

${(4 \frac{- \sqrt{6} + 1 \sqrt{2} + i (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{4})}^{3}$

解题步骤 2.1.2.2

将 $\sqrt{2}$ 乘以 $1$ 。

${(4 \frac{- \sqrt{6} + \sqrt{2} + i (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{4})}^{3}$

解题步骤 2.1.3

运用分配律。

${(4 \frac{- \sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{2} + i \sqrt{6}}{4})}^{3}$

解题步骤 2.2

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1

约去公因数。

${(4 \frac{- \sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{2} + i \sqrt{6}}{4})}^{3}$

解题步骤 2.2.2

重写表达式。

${(- \sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{2} + i \sqrt{6})}^{3}$

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