代数示例

$(x^{5} + x^{3} - x) \div (x - 4)$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{5} + x^{3} - x$ 且 $g (x) = x - 4$ 。

$\frac{(x - 4) \frac{d}{d x} [x^{5} + x^{3} - x] - (x^{5} + x^{3} - x) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $x^{5} + x^{3} - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$\frac{(x - 4) (\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]) - (x^{5} + x^{3} - x) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$\frac{(x - 4) (5 x^{4} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]) - (x^{5} + x^{3} - x) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{(x - 4) (5 x^{4} + 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x]) - (x^{5} + x^{3} - x) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [- x]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{(x - 4) (5 x^{4} + 3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x]) - (x^{5} + x^{3} - x) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(x - 4) (5 x^{4} + 3 x^{2} - 1 \cdot 1) - (x^{5} + x^{3} - x) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 3.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(x - 4) (5 x^{4} + 3 x^{2} - 1) - (x^{5} + x^{3} - x) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $x - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$\frac{(x - 4) (5 x^{4} + 3 x^{2} - 1) - (x^{5} + x^{3} - x) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(x - 4) (5 x^{4} + 3 x^{2} - 1) - (x^{5} + x^{3} - x) (1 + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 4.3

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x - 4) (5 x^{4} + 3 x^{2} - 1) - (x^{5} + x^{3} - x) (1 + 0)}{{(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 4.4

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x - 4) (5 x^{4} + 3 x^{2} - 1) - (x^{5} + x^{3} - x) \cdot 1}{{(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$\frac{(x - 4) (5 x^{4} + 3 x^{2} - 1) + (- x^{5} - x^{3} - - x) \cdot 1}{{(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 5.2

运用分配律。

$\frac{(x - 4) (5 x^{4} + 3 x^{2} - 1) - x^{5} \cdot 1 - x^{3} \cdot 1 - - x \cdot 1}{{(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 5.3

化简分子。

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解题步骤 5.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.1.1

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(x - 4) (5 x^{4} + 3 x^{2} - 1)$ 。

$\frac{x (5 x^{4}) + x (3 x^{2}) + x \cdot - 1 - 4 (5 x^{4}) - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot - 1 - x^{5} \cdot 1 - x^{3} \cdot 1 - - x \cdot 1}{{(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.2

化简每一项。

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解题步骤 5.3.1.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{5 x \cdot x^{4} + x (3 x^{2}) + x \cdot - 1 - 4 (5 x^{4}) - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot - 1 - x^{5} \cdot 1 - x^{3} \cdot 1 - - x \cdot 1}{{(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.2.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 5.3.1.2.2.1

移动 $x^{4}$ 。

$\frac{5 (x^{4} x) + x (3 x^{2}) + x \cdot - 1 - 4 (5 x^{4}) - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot - 1 - x^{5} \cdot 1 - x^{3} \cdot 1 - - x \cdot 1}{{(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.2.2.2

将 $x^{4}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.3.1.2.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{5 (x^{4} x^{1}) + x (3 x^{2}) + x \cdot - 1 - 4 (5 x^{4}) - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot - 1 - x^{5} \cdot 1 - x^{3} \cdot 1 - - x \cdot 1}{{(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.2.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{5 x^{4 + 1} + x (3 x^{2}) + x \cdot - 1 - 4 (5 x^{4}) - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot - 1 - x^{5} \cdot 1 - x^{3} \cdot 1 - - x \cdot 1}{{(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.2.2.3

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$\frac{5 x^{5} + x (3 x^{2}) + x \cdot - 1 - 4 (5 x^{4}) - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot - 1 - x^{5} \cdot 1 - x^{3} \cdot 1 - - x \cdot 1}{{(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.2.3

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{5 x^{5} + 3 x \cdot x^{2} + x \cdot - 1 - 4 (5 x^{4}) - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot - 1 - x^{5} \cdot 1 - x^{3} \cdot 1 - - x \cdot 1}{{(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.2.4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 5.3.1.2.4.1

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{5 x^{5} + 3 (x^{2} x) + x \cdot - 1 - 4 (5 x^{4}) - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot - 1 - x^{5} \cdot 1 - x^{3} \cdot 1 - - x \cdot 1}{{(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.2.4.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.3.1.2.4.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{5 x^{5} + 3 (x^{2} x^{1}) + x \cdot - 1 - 4 (5 x^{4}) - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot - 1 - x^{5} \cdot 1 - x^{3} \cdot 1 - - x \cdot 1}{{(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.2.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{5 x^{5} + 3 x^{2 + 1} + x \cdot - 1 - 4 (5 x^{4}) - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot - 1 - x^{5} \cdot 1 - x^{3} \cdot 1 - - x \cdot 1}{{(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.2.4.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{5 x^{5} + 3 x^{3} + x \cdot - 1 - 4 (5 x^{4}) - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot - 1 - x^{5} \cdot 1 - x^{3} \cdot 1 - - x \cdot 1}{{(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.2.5

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{5 x^{5} + 3 x^{3} - 1 \cdot x - 4 (5 x^{4}) - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot - 1 - x^{5} \cdot 1 - x^{3} \cdot 1 - - x \cdot 1}{{(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.2.6

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$\frac{5 x^{5} + 3 x^{3} - x - 4 (5 x^{4}) - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot - 1 - x^{5} \cdot 1 - x^{3} \cdot 1 - - x \cdot 1}{{(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.2.7

将 $5$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{5 x^{5} + 3 x^{3} - x - 20 x^{4} - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot - 1 - x^{5} \cdot 1 - x^{3} \cdot 1 - - x \cdot 1}{{(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.2.8

将 $3$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{5 x^{5} + 3 x^{3} - x - 20 x^{4} - 12 x^{2} - 4 \cdot - 1 - x^{5} \cdot 1 - x^{3} \cdot 1 - - x \cdot 1}{{(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.2.9

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{5 x^{5} + 3 x^{3} - x - 20 x^{4} - 12 x^{2} + 4 - x^{5} \cdot 1 - x^{3} \cdot 1 - - x \cdot 1}{{(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{5 x^{5} + 3 x^{3} - x - 20 x^{4} - 12 x^{2} + 4 - x^{5} - x^{3} \cdot 1 - - x \cdot 1}{{(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{5 x^{5} + 3 x^{3} - x - 20 x^{4} - 12 x^{2} + 4 - x^{5} - x^{3} - - x \cdot 1}{{(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.5

乘以 $- - x$ 。

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解题步骤 5.3.1.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{5 x^{5} + 3 x^{3} - x - 20 x^{4} - 12 x^{2} + 4 - x^{5} - x^{3} + 1 x \cdot 1}{{(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.5.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{5 x^{5} + 3 x^{3} - x - 20 x^{4} - 12 x^{2} + 4 - x^{5} - x^{3} + x \cdot 1}{{(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.6

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{5 x^{5} + 3 x^{3} - x - 20 x^{4} - 12 x^{2} + 4 - x^{5} - x^{3} + x}{{(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 5.3.2

合并 $5 x^{5} + 3 x^{3} - x - 20 x^{4} - 12 x^{2} + 4 - x^{5} - x^{3} + x$ 中相反的项。

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解题步骤 5.3.2.1

将 $- x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{5 x^{5} + 3 x^{3} - 20 x^{4} - 12 x^{2} + 4 - x^{5} - x^{3} + 0}{{(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 5.3.2.2

将 $5 x^{5} + 3 x^{3} - 20 x^{4} - 12 x^{2} + 4 - x^{5} - x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{5 x^{5} + 3 x^{3} - 20 x^{4} - 12 x^{2} + 4 - x^{5} - x^{3}}{{(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 5.3.3

从 $5 x^{5}$ 中减去 $x^{5}$ 。

$\frac{4 x^{5} + 3 x^{3} - 20 x^{4} - 12 x^{2} + 4 - x^{3}}{{(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 5.3.4

从 $3 x^{3}$ 中减去 $x^{3}$ 。

$\frac{4 x^{5} + 2 x^{3} - 20 x^{4} - 12 x^{2} + 4}{{(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 5.4

重新排序项。

$\frac{4 x^{5} - 20 x^{4} + 2 x^{3} - 12 x^{2} + 4}{{(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 5.5

从 $4 x^{5} - 20 x^{4} + 2 x^{3} - 12 x^{2} + 4$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 5.5.1

从 $4 x^{5}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2 x^{5}) - 20 x^{4} + 2 x^{3} - 12 x^{2} + 4}{{(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 5.5.2

从 $- 20 x^{4}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2 x^{5}) + 2 (- 10 x^{4}) + 2 x^{3} - 12 x^{2} + 4}{{(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 5.5.3

从 $2 x^{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2 x^{5}) + 2 (- 10 x^{4}) + 2 (x^{3}) - 12 x^{2} + 4}{{(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 5.5.4

从 $- 12 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2 x^{5}) + 2 (- 10 x^{4}) + 2 (x^{3}) + 2 (- 6 x^{2}) + 4}{{(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 5.5.5

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2 x^{5}) + 2 (- 10 x^{4}) + 2 x^{3} + 2 (- 6 x^{2}) + 2 \cdot 2}{{(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 5.5.6

从 $2 (2 x^{5}) + 2 (- 10 x^{4})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2 x^{5} - 10 x^{4}) + 2 x^{3} + 2 (- 6 x^{2}) + 2 \cdot 2}{{(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 5.5.7

从 $2 (2 x^{5} - 10 x^{4}) + 2 x^{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2 x^{5} - 10 x^{4} + x^{3}) + 2 (- 6 x^{2}) + 2 \cdot 2}{{(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 5.5.8

从 $2 (2 x^{5} - 10 x^{4} + x^{3}) + 2 (- 6 x^{2})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2 x^{5} - 10 x^{4} + x^{3} - 6 x^{2}) + 2 \cdot 2}{{(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 5.5.9

从 $2 (2 x^{5} - 10 x^{4} + x^{3} - 6 x^{2}) + 2 \cdot 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2 x^{5} - 10 x^{4} + x^{3} - 6 x^{2} + 2)}{{(x - 4)}^{2}}$

代数 示例

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