代数示例

$2 + \frac{4}{5} + \frac{8}{25} + \frac{16}{125}$

解题步骤 1

由于各项间的比值相同，因此这是一个等比数列。在本例中，数列的前一项乘以 $\frac{2}{5}$ 即得到数列的下一项。亦即 $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ 。

等比数列： $r = \frac{2}{5}$

解题步骤 2

这是等比数列的形式。

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

解题步骤 3

代入 $a_{1} = 2$ 和 $r = \frac{2}{5}$ 的值。

$a_{n} = 2 {(\frac{2}{5})}^{n - 1}$

解题步骤 4

对 $\frac{2}{5}$ 运用乘积法则。

$a_{n} = 2 \frac{2^{n - 1}}{5^{n - 1}}$

解题步骤 5

乘以 $2 \frac{2^{n - 1}}{5^{n - 1}}$ 。

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解题步骤 5.1

组合 $2$ 和 $\frac{2^{n - 1}}{5^{n - 1}}$ 。

$a_{n} = \frac{2 \cdot 2^{n - 1}}{5^{n - 1}}$

解题步骤 5.2

通过指数相加将 $2$ 乘以 $2^{n - 1}$ 。

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解题步骤 5.2.1

将 $2$ 乘以 $2^{n - 1}$ 。

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解题步骤 5.2.1.1

对 $2$ 进行 $1$ 次方运算。

$a_{n} = \frac{2^{1} \cdot 2^{n - 1}}{5^{n - 1}}$

解题步骤 5.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$a_{n} = \frac{2^{1 + n - 1}}{5^{n - 1}}$

解题步骤 5.2.2

合并 $1 + n - 1$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.2.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$a_{n} = \frac{2^{n + 0}}{5^{n - 1}}$

解题步骤 5.2.2.2

将 $n$ 和 $0$ 相加。

$a_{n} = \frac{2^{n}}{5^{n - 1}}$

解题步骤 6

这是求等比数列的前 $n$ 项之和的公式。要进行计算，求出 $r$ 和 $a_{1}$ 的值。

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

解题步骤 7

使用已知值替换变量以求 $S_{4}$ 。

$S_{4} = 2 \cdot \frac{{(\frac{2}{5})}^{4} - 1}{\frac{2}{5} - 1}$

解题步骤 8

化简分子。

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解题步骤 8.1

对 $\frac{2}{5}$ 运用乘积法则。

$S_{4} = 2 \cdot \frac{\frac{2^{4}}{5^{4}} - 1}{\frac{2}{5} - 1}$

解题步骤 8.2

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$S_{4} = 2 \cdot \frac{\frac{16}{5^{4}} - 1}{\frac{2}{5} - 1}$

解题步骤 8.3

对 $5$ 进行 $4$ 次方运算。

$S_{4} = 2 \cdot \frac{\frac{16}{625} - 1}{\frac{2}{5} - 1}$

解题步骤 8.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{625}{625}$ 。

$S_{4} = 2 \cdot \frac{\frac{16}{625} - 1 \cdot \frac{625}{625}}{\frac{2}{5} - 1}$

解题步骤 8.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{625}{625}$ 。

$S_{4} = 2 \cdot \frac{\frac{16}{625} + \frac{- 1 \cdot 625}{625}}{\frac{2}{5} - 1}$

解题步骤 8.6

在公分母上合并分子。

$S_{4} = 2 \cdot \frac{\frac{16 - 1 \cdot 625}{625}}{\frac{2}{5} - 1}$

解题步骤 8.7

化简分子。

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解题步骤 8.7.1

将 $- 1$ 乘以 $625$ 。

$S_{4} = 2 \cdot \frac{\frac{16 - 625}{625}}{\frac{2}{5} - 1}$

解题步骤 8.7.2

从 $16$ 中减去 $625$ 。

$S_{4} = 2 \cdot \frac{\frac{- 609}{625}}{\frac{2}{5} - 1}$

解题步骤 8.8

将负号移到分数的前面。

$S_{4} = 2 \cdot \frac{- \frac{609}{625}}{\frac{2}{5} - 1}$

解题步骤 9

化简分母。

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解题步骤 9.1

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$S_{4} = 2 \cdot \frac{- \frac{609}{625}}{\frac{2}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}$

解题步骤 9.2

组合 $- 1$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$S_{4} = 2 \cdot \frac{- \frac{609}{625}}{\frac{2}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}$

解题步骤 9.3

在公分母上合并分子。

$S_{4} = 2 \cdot \frac{- \frac{609}{625}}{\frac{2 - 1 \cdot 5}{5}}$

解题步骤 9.4

化简分子。

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解题步骤 9.4.1

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$S_{4} = 2 \cdot \frac{- \frac{609}{625}}{\frac{2 - 5}{5}}$

解题步骤 9.4.2

从 $2$ 中减去 $5$ 。

$S_{4} = 2 \cdot \frac{- \frac{609}{625}}{\frac{- 3}{5}}$

解题步骤 9.5

将负号移到分数的前面。

$S_{4} = 2 \cdot \frac{- \frac{609}{625}}{- \frac{3}{5}}$

解题步骤 10

将两个负数相除得到一个正数。

$S_{4} = 2 \cdot \frac{\frac{609}{625}}{\frac{3}{5}}$

解题步骤 11

将分子乘以分母的倒数。

$S_{4} = 2 \cdot (\frac{609}{625} \cdot \frac{5}{3})$

解题步骤 12

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 12.1

从 $609$ 中分解出因数 $3$ 。

$S_{4} = 2 \cdot (\frac{3 (203)}{625} \cdot \frac{5}{3})$

解题步骤 12.2

约去公因数。

$S_{4} = 2 \cdot (\frac{3 \cdot 203}{625} \cdot \frac{5}{3})$

解题步骤 12.3

重写表达式。

$S_{4} = 2 \cdot (\frac{203}{625} \cdot 5)$

解题步骤 13

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 13.1

从 $625$ 中分解出因数 $5$ 。

$S_{4} = 2 \cdot (\frac{203}{5 (125)} \cdot 5)$

解题步骤 13.2

约去公因数。

$S_{4} = 2 \cdot (\frac{203}{5 \cdot 125} \cdot 5)$

解题步骤 13.3

重写表达式。

$S_{4} = 2 \cdot \frac{203}{125}$

解题步骤 14

乘以 $2 (\frac{203}{125})$ 。

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解题步骤 14.1

组合 $2$ 和 $\frac{203}{125}$ 。

$S_{4} = \frac{2 \cdot 203}{125}$

解题步骤 14.2

将 $2$ 乘以 $203$ 。

$S_{4} = \frac{406}{125}$

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