代数示例

$\tan (- 75)$

解题步骤 1

首先，将这个角拆分成两个角，这两个角的六个三角函数值都应是已知的。在本例中， $- 75$ 可以被拆分为 $60 - 135$ 。

$\tan (60 - 135)$

解题步骤 2

使用正切的差公式化简表达式。该公式表述为 $\tan (A - B) = \frac{\tan (A) - \tan (B)}{1 + \tan (A) \tan (B)}$ 。

$\frac{\tan (60) - \tan (135)}{1 + \tan (60) \tan (135)}$

解题步骤 3

去掉圆括号。

$\frac{\tan (60) - \tan (135)}{1 + \tan (60) \tan (135)}$

解题步骤 4

化简分子。

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解题步骤 4.1

$\tan (60)$ 的准确值为 $\sqrt{3}$ 。

$\frac{\sqrt{3} - \tan (135)}{1 + \tan (60) \tan (135)}$

解题步骤 4.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正切在第二象限为负。

$\frac{\sqrt{3} - - \tan (45)}{1 + \tan (60) \tan (135)}$

解题步骤 4.3

$\tan (45)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{\sqrt{3} - (- 1 \cdot 1)}{1 + \tan (60) \tan (135)}$

解题步骤 4.4

乘以 $- (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 4.4.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sqrt{3} - - 1}{1 + \tan (60) \tan (135)}$

解题步骤 4.4.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\sqrt{3} + 1}{1 + \tan (60) \tan (135)}$

解题步骤 5

化简分母。

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解题步骤 5.1

$\tan (60)$ 的准确值为 $\sqrt{3}$ 。

$\frac{\sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3} \tan (135)}$

解题步骤 5.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正切在第二象限为负。

$\frac{\sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3} (- \tan (45))}$

解题步骤 5.3

$\tan (45)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{\sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3} (- 1 \cdot 1)}$

解题步骤 5.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3} \cdot - 1}$

解题步骤 5.5

将 $- 1$ 移到 $\sqrt{3}$ 的左侧。

$\frac{\sqrt{3} + 1}{1 - 1 \cdot \sqrt{3}}$

解题步骤 5.6

将 $- 1 \sqrt{3}$ 重写为 $- \sqrt{3}$ 。

$\frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}}$

解题步骤 6

将 $\frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}$ 。

$\frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}} \cdot \frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}$

解题步骤 7

合并分数。

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解题步骤 7.1

将 $\frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}$ 。

$\frac{(\sqrt{3} + 1) (1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}$

解题步骤 7.2

使用 FOIL 方法来展开分母。

$\frac{(\sqrt{3} + 1) (1 + \sqrt{3})}{1 + \sqrt{3} - \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 7.3

化简。

$\frac{(\sqrt{3} + 1) (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

解题步骤 8

化简分子。

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解题步骤 8.1

重新排序项。

$\frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

解题步骤 8.2

对 $1 + \sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{1} (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

解题步骤 8.3

对 $1 + \sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{1} {(1 + \sqrt{3})}^{1}}{- 2}$

解题步骤 8.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{1 + 1}}{- 2}$

解题步骤 8.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{2}}{- 2}$

解题步骤 9

将 ${(1 + \sqrt{3})}^{2}$ 重写为 $(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})$ 。

$\frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

解题步骤 10

使用 FOIL 方法展开 $(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})$ 。

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解题步骤 10.1

运用分配律。

$\frac{1 (1 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

解题步骤 10.2

运用分配律。

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

解题步骤 10.3

运用分配律。

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

解题步骤 11

化简并合并同类项。

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解题步骤 11.1

化简每一项。

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解题步骤 11.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

解题步骤 11.1.2

将 $\sqrt{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

解题步骤 11.1.3

将 $\sqrt{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

解题步骤 11.1.4

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{- 2}$

解题步骤 11.1.5

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{9}}{- 2}$

解题步骤 11.1.6

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{- 2}$

解题步骤 11.1.7

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + 3}{- 2}$

解题步骤 11.2

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$\frac{4 + \sqrt{3} + \sqrt{3}}{- 2}$

解题步骤 11.3

将 $\sqrt{3}$ 和 $\sqrt{3}$ 相加。

$\frac{4 + 2 \sqrt{3}}{- 2}$

解题步骤 12

约去 $4 + 2 \sqrt{3}$ 和 $- 2$ 的公因数。

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解题步骤 12.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2) + 2 \sqrt{3}}{- 2}$

解题步骤 12.2

从 $2 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2) + 2 (\sqrt{3})}{- 2}$

解题步骤 12.3

从 $2 (2) + 2 (\sqrt{3})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{- 2}$

解题步骤 12.4

移动 $\frac{2 + \sqrt{3}}{- 1}$ 中分母的负号。

$- 1 \cdot (2 + \sqrt{3})$

解题步骤 13

将 $- 1 \cdot (2 + \sqrt{3})$ 重写为 $- (2 + \sqrt{3})$ 。

$- (2 + \sqrt{3})$

解题步骤 14

运用分配律。

$- 1 \cdot 2 - \sqrt{3}$

解题步骤 15

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 2 - \sqrt{3}$

解题步骤 16

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- 2 - \sqrt{3}$

小数形式：

$- 3.73205080 \dots$

代数 示例

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