代数示例

$\frac{x^{2}}{15} - \frac{y^{2}}{5} = 1$

解题步骤 1

化简方程中的每一项，使右边等于 $1$ 。椭圆或双曲线的标准形式要求方程的右边为 $1$ 。

$\frac{x^{2}}{15} - \frac{y^{2}}{5} = 1$

解题步骤 2

这是双曲线的标准形式。用此形式确定离心率。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

解题步骤 3

将该双曲线中的值匹配至标准形式的值。变量 $h$ 表示从原点起的 x 轴偏移量， $k$ 表示从原点起的 y 轴偏移量， $a$ 。

$a = \sqrt{15}$

$b = \sqrt{5}$

$k = 0$

$h = 0$

解题步骤 4

用下面的公式求离心率。

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

解题步骤 5

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式。

$\frac{\sqrt{{(\sqrt{15})}^{2} + {(\sqrt{5})}^{2}}}{\sqrt{15}}$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

化简分子。

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解题步骤 6.1.1

将 ${\sqrt{15}}^{2}$ 重写为 $15$ 。

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解题步骤 6.1.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{15}$ 重写成 $15^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{{(15^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{5}}^{2}}}{\sqrt{15}}$

解题步骤 6.1.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\sqrt{15^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{5}}^{2}}}{\sqrt{15}}$

解题步骤 6.1.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{\sqrt{15^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{5}}^{2}}}{\sqrt{15}}$

解题步骤 6.1.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.1.4.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{15^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{5}}^{2}}}{\sqrt{15}}$

解题步骤 6.1.1.4.2

重写表达式。

$\frac{\sqrt{15^{1} + {\sqrt{5}}^{2}}}{\sqrt{15}}$

解题步骤 6.1.1.5

计算指数。

$\frac{\sqrt{15 + {\sqrt{5}}^{2}}}{\sqrt{15}}$

解题步骤 6.1.2

将 ${\sqrt{5}}^{2}$ 重写为 $5$ 。

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解题步骤 6.1.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{15 + {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{\sqrt{15}}$

解题步骤 6.1.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\sqrt{15 + 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{\sqrt{15}}$

解题步骤 6.1.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{\sqrt{15 + 5^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{15}}$

解题步骤 6.1.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.2.4.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{15 + 5^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{15}}$

解题步骤 6.1.2.4.2

重写表达式。

$\frac{\sqrt{15 + 5^{1}}}{\sqrt{15}}$

解题步骤 6.1.2.5

计算指数。

$\frac{\sqrt{15 + 5}}{\sqrt{15}}$

解题步骤 6.1.3

将 $15$ 和 $5$ 相加。

$\frac{\sqrt{20}}{\sqrt{15}}$

解题步骤 6.1.4

将 $20$ 重写为 $2^{2} \cdot 5$ 。

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解题步骤 6.1.4.1

从 $20$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{\sqrt{4 (5)}}{\sqrt{15}}$

解题步骤 6.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 5}}{\sqrt{15}}$

解题步骤 6.1.5

从根式下提出各项。

$\frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{15}}$

解题步骤 6.2

把 $\sqrt{5}$ 和 $\sqrt{15}$ 组合为一个单根式。

$2 \sqrt{\frac{5}{15}}$

解题步骤 6.3

约去 $5$ 和 $15$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.1

从 $5$ 中分解出因数 $5$ 。

$2 \sqrt{\frac{5 (1)}{15}}$

解题步骤 6.3.2

约去公因数。

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解题步骤 6.3.2.1

从 $15$ 中分解出因数 $5$ 。

$2 \sqrt{\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 3}}$

解题步骤 6.3.2.2

约去公因数。

$2 \sqrt{\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 3}}$

解题步骤 6.3.2.3

重写表达式。

$2 \sqrt{\frac{1}{3}}$

解题步骤 6.4

将 $\sqrt{\frac{1}{3}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ 。

$2 \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 6.5

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$2 \frac{1}{\sqrt{3}}$

解题步骤 6.6

将 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$2 (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

解题步骤 6.7

合并和化简分母。

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解题步骤 6.7.1

将 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$2 \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 6.7.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

解题步骤 6.7.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

解题步骤 6.7.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

解题步骤 6.7.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$2 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 6.7.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 6.7.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$2 \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 6.7.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2 \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 6.7.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$2 \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 6.7.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.7.6.4.1

约去公因数。

$2 \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 6.7.6.4.2

重写表达式。

$2 \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

解题步骤 6.7.6.5

计算指数。

$2 \frac{\sqrt{3}}{3}$

解题步骤 6.8

组合 $2$ 和 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

小数形式：

$1.15470053 \dots$

解题步骤 8

代数 示例

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