代数示例

$x = h + r \cos (t)$ , $y = k + r \sin (t)$

解题步骤 1

建立 $x (t)$ 的参数方程以求解 $t$ 方程。

$x = h + r \cos (t)$

解题步骤 2

将方程重写为 $h + r \cos (t) = x$ 。

$h + r \cos (t) = x$

解题步骤 3

从等式两边同时减去 $h$ 。

$r \cos (t) = x - h$

解题步骤 4

将 $r \cos (t) = x - h$ 中的每一项除以 $r$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

将 $r \cos (t) = x - h$ 中的每一项都除以 $r$ 。

$\frac{r \cos (t)}{r} = \frac{x}{r} + \frac{- h}{r}$

解题步骤 4.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1

约去 $r$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{r \cos (t)}{r} = \frac{x}{r} + \frac{- h}{r}$

解题步骤 4.2.1.2

用 $\cos (t)$ 除以 $1$ 。

$\cos (t) = \frac{x}{r} + \frac{- h}{r}$

解题步骤 4.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1

将负号移到分数的前面。

$\cos (t) = \frac{x}{r} - \frac{h}{r}$

解题步骤 5

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $t$ 。

$t = \arccos (\frac{x}{r} - \frac{h}{r})$

解题步骤 6

将方程中的 $t$ 替换为 $y$ ，以得出 $x$ 形式的方程。

$y = k + r \sin (\arccos (\frac{x}{r} - \frac{h}{r}))$

解题步骤 7

去掉圆括号。

$y = k + r \sin (\arccos (\frac{x}{r} - \frac{h}{r}))$

解题步骤 8

化简 $k + r \sin (\arccos (\frac{x}{r} - \frac{h}{r}))$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1.1

在平面中画出顶点为 $(\frac{x}{r} - \frac{h}{r}, \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{r} - \frac{h}{r})}^{2}})$ 、 $(\frac{x}{r} - \frac{h}{r}, 0)$ 和原点的三角形。则 $\arccos (\frac{x}{r} - \frac{h}{r})$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(\frac{x}{r} - \frac{h}{r}, \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{r} - \frac{h}{r})}^{2}})$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\sin (\arccos (\frac{x}{r} - \frac{h}{r}))$ 为 $\sqrt{1 - {(\frac{x}{r} - \frac{h}{r})}^{2}}$ 。

$y = k + r \sqrt{1 - {(\frac{x}{r} - \frac{h}{r})}^{2}}$

解题步骤 8.1.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$y = k + r \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{r} - \frac{h}{r})}^{2}}$

解题步骤 8.1.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = \frac{x}{r} - \frac{h}{r}$ 。

$y = k + r \sqrt{(1 + \frac{x}{r} - \frac{h}{r}) (1 - (\frac{x}{r} - \frac{h}{r}))}$

解题步骤 8.1.4

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1.4.1

运用分配律。

$y = k + r \sqrt{(1 + \frac{x}{r} - \frac{h}{r}) (1 - \frac{x}{r} - - \frac{h}{r})}$

解题步骤 8.1.4.2

乘以 $- - \frac{h}{r}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1.4.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$y = k + r \sqrt{(1 + \frac{x}{r} - \frac{h}{r}) (1 - \frac{x}{r} + 1 \frac{h}{r})}$

解题步骤 8.1.4.2.2

将 $\frac{h}{r}$ 乘以 $1$ 。

$y = k + r \sqrt{(1 + \frac{x}{r} - \frac{h}{r}) (1 - \frac{x}{r} + \frac{h}{r})}$

解题步骤 8.1.5

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$y = k + r \sqrt{(\frac{r}{r} + \frac{x}{r} - \frac{h}{r}) (1 - \frac{x}{r} + \frac{h}{r})}$

解题步骤 8.1.6

在公分母上合并分子。

$y = k + r \sqrt{(\frac{r + x}{r} - \frac{h}{r}) (1 - \frac{x}{r} + \frac{h}{r})}$

解题步骤 8.1.7

在公分母上合并分子。

$y = k + r \sqrt{\frac{r + x - h}{r} (1 - \frac{x}{r} + \frac{h}{r})}$

解题步骤 8.1.8

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1.8.1

移动 $x$ 。

$y = k + r \sqrt{\frac{r - h + x}{r} (1 - \frac{x}{r} + \frac{h}{r})}$

解题步骤 8.1.8.2

将 $r$ 和 $- h$ 重新排序。

$y = k + r \sqrt{\frac{- h + r + x}{r} (1 - \frac{x}{r} + \frac{h}{r})}$

解题步骤 8.1.9

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$y = k + r \sqrt{\frac{- h + r + x}{r} (\frac{r}{r} - \frac{x}{r} + \frac{h}{r})}$

解题步骤 8.1.10

在公分母上合并分子。

$y = k + r \sqrt{\frac{- h + r + x}{r} (\frac{r - x}{r} + \frac{h}{r})}$

解题步骤 8.1.11

在公分母上合并分子。

$y = k + r \sqrt{\frac{- h + r + x}{r} \cdot \frac{r - x + h}{r}}$

解题步骤 8.1.12

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1.12.1

移动 $- x$ 。

$y = k + r \sqrt{\frac{- h + r + x}{r} \cdot \frac{r + h - x}{r}}$

解题步骤 8.1.12.2

将 $r$ 和 $h$ 重新排序。

$y = k + r \sqrt{\frac{- h + r + x}{r} \cdot \frac{h + r - x}{r}}$

解题步骤 8.1.13

将 $\frac{- h + r + x}{r}$ 乘以 $\frac{h + r - x}{r}$ 。

$y = k + r \sqrt{\frac{(- h + r + x) (h + r - x)}{r \cdot r}}$

解题步骤 8.1.14

将 $r$ 乘以 $r$ 。

$y = k + r \sqrt{\frac{(- h + r + x) (h + r - x)}{r^{2}}}$

解题步骤 8.1.15

将 $\frac{(- h + r + x) (h + r - x)}{r^{2}}$ 重写为 ${(\frac{1}{r})}^{2} ((- h + r + x) (h + r - x))$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1.15.1

从 $(- h + r + x) (h + r - x)$ 中因式分解出完全幂数 $1^{2}$ 。

$y = k + r \sqrt{\frac{1^{2} ((- h + r + x) (h + r - x))}{r^{2}}}$

解题步骤 8.1.15.2

从 $r^{2}$ 中因式分解出完全幂数 $r^{2}$ 。

$y = k + r \sqrt{\frac{1^{2} ((- h + r + x) (h + r - x))}{r^{2} \cdot 1}}$

解题步骤 8.1.15.3

重新整理分数 $\frac{1^{2} ((- h + r + x) (h + r - x))}{r^{2} \cdot 1}$ 。

$y = k + r \sqrt{{(\frac{1}{r})}^{2} ((- h + r + x) (h + r - x))}$

解题步骤 8.1.16

从根式下提出各项。

$y = k + r (\frac{1}{r} \sqrt{(- h + r + x) (h + r - x)})$

解题步骤 8.1.17

组合 $\frac{1}{r}$ 和 $\sqrt{(- h + r + x) (h + r - x)}$ 。

$y = k + r \frac{\sqrt{(- h + r + x) (h + r - x)}}{r}$

解题步骤 8.1.18

约去 $r$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1.18.1

约去公因数。

$y = k + r \frac{\sqrt{(- h + r + x) (h + r - x)}}{r}$

解题步骤 8.1.18.2

重写表达式。

$y = k + \sqrt{(- h + r + x) (h + r - x)}$

解题步骤 8.2

将 $k$ 和 $\sqrt{(- h + r + x) (h + r - x)}$ 重新排序。

$y = \sqrt{(- h + r + x) (h + r - x)} + k$

代数 示例

代数示例