代数示例

$1 + \frac{2}{3} + \frac{4}{9} + \frac{8}{27}$

解题步骤 1

由于各项间的比值相同，因此这是一个等比数列。在本例中，数列的前一项乘以 $\frac{2}{3}$ 即得到数列的下一项。亦即 $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ 。

等比数列： $r = \frac{2}{3}$

解题步骤 2

这是等比数列的形式。

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

解题步骤 3

代入 $a_{1} = 1$ 和 $r = \frac{2}{3}$ 的值。

$a_{n} = 1 {(\frac{2}{3})}^{n - 1}$

解题步骤 4

将 ${(\frac{2}{3})}^{n - 1}$ 乘以 $1$ 。

$a_{n} = {(\frac{2}{3})}^{n - 1}$

解题步骤 5

对 $\frac{2}{3}$ 运用乘积法则。

$a_{n} = \frac{2^{n - 1}}{3^{n - 1}}$

解题步骤 6

这是求等比数列的前 $n$ 项之和的公式。要进行计算，求出 $r$ 和 $a_{1}$ 的值。

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

解题步骤 7

使用已知值替换变量以求 $S_{4}$ 。

$S_{4} = 1 \cdot \frac{{(\frac{2}{3})}^{4} - 1}{\frac{2}{3} - 1}$

解题步骤 8

将 $\frac{{(\frac{2}{3})}^{4} - 1}{\frac{2}{3} - 1}$ 乘以 $1$ 。

$S_{4} = \frac{{(\frac{2}{3})}^{4} - 1}{\frac{2}{3} - 1}$

解题步骤 9

将分数的分子和分母乘以 $3$ 。

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解题步骤 9.1

将 $\frac{{(\frac{2}{3})}^{4} - 1}{\frac{2}{3} - 1}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$S_{4} = \frac{3}{3} \cdot \frac{{(\frac{2}{3})}^{4} - 1}{\frac{2}{3} - 1}$

解题步骤 9.2

合并。

$S_{4} = \frac{3 ({(\frac{2}{3})}^{4} - 1)}{3 (\frac{2}{3} - 1)}$

解题步骤 10

运用分配律。

$S_{4} = \frac{3 {(\frac{2}{3})}^{4} + 3 \cdot - 1}{3 (\frac{2}{3}) + 3 \cdot - 1}$

解题步骤 11

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 11.1

约去公因数。

$S_{4} = \frac{3 {(\frac{2}{3})}^{4} + 3 \cdot - 1}{3 (\frac{2}{3}) + 3 \cdot - 1}$

解题步骤 11.2

重写表达式。

$S_{4} = \frac{3 {(\frac{2}{3})}^{4} + 3 \cdot - 1}{2 + 3 \cdot - 1}$

解题步骤 12

化简分子。

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解题步骤 12.1

对 $\frac{2}{3}$ 运用乘积法则。

$S_{4} = \frac{3 (\frac{2^{4}}{3^{4}}) + 3 \cdot - 1}{2 + 3 \cdot - 1}$

解题步骤 12.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 12.2.1

从 $3^{4}$ 中分解出因数 $3$ 。

$S_{4} = \frac{3 (\frac{2^{4}}{3 \cdot 3^{3}}) + 3 \cdot - 1}{2 + 3 \cdot - 1}$

解题步骤 12.2.2

约去公因数。

$S_{4} = \frac{3 (\frac{2^{4}}{3 \cdot 3^{3}}) + 3 \cdot - 1}{2 + 3 \cdot - 1}$

解题步骤 12.2.3

重写表达式。

$S_{4} = \frac{\frac{2^{4}}{3^{3}} + 3 \cdot - 1}{2 + 3 \cdot - 1}$

解题步骤 12.3

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$S_{4} = \frac{\frac{16}{3^{3}} + 3 \cdot - 1}{2 + 3 \cdot - 1}$

解题步骤 12.4

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$S_{4} = \frac{\frac{16}{27} + 3 \cdot - 1}{2 + 3 \cdot - 1}$

解题步骤 12.5

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$S_{4} = \frac{\frac{16}{27} - 3}{2 + 3 \cdot - 1}$

解题步骤 12.6

要将 $- 3$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{27}{27}$ 。

$S_{4} = \frac{\frac{16}{27} - 3 \cdot \frac{27}{27}}{2 + 3 \cdot - 1}$

解题步骤 12.7

组合 $- 3$ 和 $\frac{27}{27}$ 。

$S_{4} = \frac{\frac{16}{27} + \frac{- 3 \cdot 27}{27}}{2 + 3 \cdot - 1}$

解题步骤 12.8

在公分母上合并分子。

$S_{4} = \frac{\frac{16 - 3 \cdot 27}{27}}{2 + 3 \cdot - 1}$

解题步骤 12.9

化简分子。

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解题步骤 12.9.1

将 $- 3$ 乘以 $27$ 。

$S_{4} = \frac{\frac{16 - 81}{27}}{2 + 3 \cdot - 1}$

解题步骤 12.9.2

从 $16$ 中减去 $81$ 。

$S_{4} = \frac{\frac{- 65}{27}}{2 + 3 \cdot - 1}$

解题步骤 12.10

将负号移到分数的前面。

$S_{4} = \frac{- \frac{65}{27}}{2 + 3 \cdot - 1}$

解题步骤 13

化简分母。

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解题步骤 13.1

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$S_{4} = \frac{- \frac{65}{27}}{2 - 3}$

解题步骤 13.2

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$S_{4} = \frac{- \frac{65}{27}}{- 1}$

解题步骤 14

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 14.1

将两个负数相除得到一个正数。

$S_{4} = \frac{\frac{65}{27}}{1}$

解题步骤 14.2

用 $\frac{65}{27}$ 除以 $1$ 。

$S_{4} = \frac{65}{27}$

代数 示例

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