代数示例

$\frac{x^{2} + 13 x + 54}{x + 6}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2} + 13 x + 54$ 且 $g (x) = x + 6$ 。

$\frac{(x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2} + 13 x + 54] - (x^{2} + 13 x + 54) \frac{d}{d x} [x + 6]}{{(x + 6)}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $x^{2} + 13 x + 54$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [13 x] + \frac{d}{d x} [54]$ 。

$\frac{(x + 6) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [13 x] + \frac{d}{d x} [54]) - (x^{2} + 13 x + 54) \frac{d}{d x} [x + 6]}{{(x + 6)}^{2}}$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(x + 6) (2 x + \frac{d}{d x} [13 x] + \frac{d}{d x} [54]) - (x^{2} + 13 x + 54) \frac{d}{d x} [x + 6]}{{(x + 6)}^{2}}$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [13 x]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $13$ 对于 $x$ 是常数，所以 $13 x$ 对 $x$ 的导数是 $13 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{(x + 6) (2 x + 13 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [54]) - (x^{2} + 13 x + 54) \frac{d}{d x} [x + 6]}{{(x + 6)}^{2}}$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(x + 6) (2 x + 13 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [54]) - (x^{2} + 13 x + 54) \frac{d}{d x} [x + 6]}{{(x + 6)}^{2}}$

解题步骤 3.3

将 $13$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(x + 6) (2 x + 13 + \frac{d}{d x} [54]) - (x^{2} + 13 x + 54) \frac{d}{d x} [x + 6]}{{(x + 6)}^{2}}$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

因为 $54$ 对于 $x$ 是常数，所以 $54$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x + 6) (2 x + 13 + 0) - (x^{2} + 13 x + 54) \frac{d}{d x} [x + 6]}{{(x + 6)}^{2}}$

解题步骤 4.2

将 $2 x + 13$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x + 6) (2 x + 13) - (x^{2} + 13 x + 54) \frac{d}{d x} [x + 6]}{{(x + 6)}^{2}}$

解题步骤 4.3

根据加法法则， $x + 6$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ 。

$\frac{(x + 6) (2 x + 13) - (x^{2} + 13 x + 54) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6])}{{(x + 6)}^{2}}$

解题步骤 4.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(x + 6) (2 x + 13) - (x^{2} + 13 x + 54) (1 + \frac{d}{d x} [6])}{{(x + 6)}^{2}}$

解题步骤 4.5

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x + 6) (2 x + 13) - (x^{2} + 13 x + 54) (1 + 0)}{{(x + 6)}^{2}}$

解题步骤 4.6

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x + 6) (2 x + 13) - (x^{2} + 13 x + 54) \cdot 1}{{(x + 6)}^{2}}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$\frac{(x + 6) (2 x + 13) + (- x^{2} - (13 x) - 1 \cdot 54) \cdot 1}{{(x + 6)}^{2}}$

解题步骤 5.2

运用分配律。

$\frac{(x + 6) (2 x + 13) - x^{2} \cdot 1 - (13 x) \cdot 1 - 1 \cdot 54 \cdot 1}{{(x + 6)}^{2}}$

解题步骤 5.3

化简分子。

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解题步骤 5.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(x + 6) (2 x + 13)$ 。

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解题步骤 5.3.1.1.1

运用分配律。

$\frac{x (2 x + 13) + 6 (2 x + 13) - x^{2} \cdot 1 - (13 x) \cdot 1 - 1 \cdot 54 \cdot 1}{{(x + 6)}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.1.2

运用分配律。

$\frac{x (2 x) + x \cdot 13 + 6 (2 x + 13) - x^{2} \cdot 1 - (13 x) \cdot 1 - 1 \cdot 54 \cdot 1}{{(x + 6)}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.1.3

运用分配律。

$\frac{x (2 x) + x \cdot 13 + 6 (2 x) + 6 \cdot 13 - x^{2} \cdot 1 - (13 x) \cdot 1 - 1 \cdot 54 \cdot 1}{{(x + 6)}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.3.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.1.2.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot 13 + 6 (2 x) + 6 \cdot 13 - x^{2} \cdot 1 - (13 x) \cdot 1 - 1 \cdot 54 \cdot 1}{{(x + 6)}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.2.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.3.1.2.1.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot 13 + 6 (2 x) + 6 \cdot 13 - x^{2} \cdot 1 - (13 x) \cdot 1 - 1 \cdot 54 \cdot 1}{{(x + 6)}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.2.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{2 x^{2} + x \cdot 13 + 6 (2 x) + 6 \cdot 13 - x^{2} \cdot 1 - (13 x) \cdot 1 - 1 \cdot 54 \cdot 1}{{(x + 6)}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.2.1.3

将 $13$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{2 x^{2} + 13 \cdot x + 6 (2 x) + 6 \cdot 13 - x^{2} \cdot 1 - (13 x) \cdot 1 - 1 \cdot 54 \cdot 1}{{(x + 6)}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.2.1.4

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$\frac{2 x^{2} + 13 x + 12 x + 6 \cdot 13 - x^{2} \cdot 1 - (13 x) \cdot 1 - 1 \cdot 54 \cdot 1}{{(x + 6)}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.2.1.5

将 $6$ 乘以 $13$ 。

$\frac{2 x^{2} + 13 x + 12 x + 78 - x^{2} \cdot 1 - (13 x) \cdot 1 - 1 \cdot 54 \cdot 1}{{(x + 6)}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.2.2

将 $13 x$ 和 $12 x$ 相加。

$\frac{2 x^{2} + 25 x + 78 - x^{2} \cdot 1 - (13 x) \cdot 1 - 1 \cdot 54 \cdot 1}{{(x + 6)}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 x^{2} + 25 x + 78 - x^{2} - (13 x) \cdot 1 - 1 \cdot 54 \cdot 1}{{(x + 6)}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.4

将 $13$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 x^{2} + 25 x + 78 - x^{2} - 13 x \cdot 1 - 1 \cdot 54 \cdot 1}{{(x + 6)}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.5

将 $- 13$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 x^{2} + 25 x + 78 - x^{2} - 13 x - 1 \cdot 54 \cdot 1}{{(x + 6)}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.6

乘以 $- 1 \cdot 54 \cdot 1$ 。

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解题步骤 5.3.1.6.1

将 $- 1$ 乘以 $54$ 。

$\frac{2 x^{2} + 25 x + 78 - x^{2} - 13 x - 54 \cdot 1}{{(x + 6)}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.6.2

将 $- 54$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 x^{2} + 25 x + 78 - x^{2} - 13 x - 54}{{(x + 6)}^{2}}$

解题步骤 5.3.2

从 $2 x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} + 25 x + 78 - 13 x - 54}{{(x + 6)}^{2}}$

解题步骤 5.3.3

从 $25 x$ 中减去 $13 x$ 。

$\frac{x^{2} + 12 x + 78 - 54}{{(x + 6)}^{2}}$

解题步骤 5.3.4

从 $78$ 中减去 $54$ 。

$\frac{x^{2} + 12 x + 24}{{(x + 6)}^{2}}$

代数 示例

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