代数示例

$\frac{\tan^{3} (x) - 1}{\tan (x) - 1} = \tan^{2} (x) + \tan (x) + 1$

解题步骤 1

从左边开始。

$\frac{\tan^{3} (x) - 1}{\tan (x) - 1}$

解题步骤 2

转换成正弦和余弦。

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解题步骤 2.1

使用商数恒等式以正弦和余弦书写 $\tan (x)$ 。

$\frac{{(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{3} - 1}{\tan (x) - 1}$

解题步骤 2.2

使用商数恒等式以正弦和余弦书写 $\tan (x)$ 。

$\frac{{(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{3} - 1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1}$

解题步骤 2.3

对 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 运用乘积法则。

$\frac{\frac{\sin^{3} (x)}{\cos^{3} (x)} - 1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

将分数的分子和分母乘以 ${\cos (x)}^{3}$ 。

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解题步骤 3.1.1

将 $\frac{\frac{{\sin (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3}} - 1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1}$ 乘以 $\frac{{\cos (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3}}$ 。

$\frac{{\cos (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3}} \cdot \frac{\frac{{\sin (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3}} - 1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1}$

解题步骤 3.1.2

合并。

$\frac{{\cos (x)}^{3} (\frac{{\sin (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3}} - 1)}{{\cos (x)}^{3} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1)}$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$\frac{{\cos (x)}^{3} \frac{{\sin (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3}} + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}{{\cos (x)}^{3} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

解题步骤 3.3

通过相约进行化简。

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解题步骤 3.3.1

约去 ${\cos (x)}^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.1

约去公因数。

$\frac{{\cos (x)}^{3} \frac{{\sin (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3}} + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}{{\cos (x)}^{3} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

解题步骤 3.3.1.2

重写表达式。

$\frac{{\sin (x)}^{3} + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}{{\cos (x)}^{3} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

解题步骤 3.3.2

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1

从 ${\cos (x)}^{3}$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\frac{{\sin (x)}^{3} + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}{\cos (x) {\cos (x)}^{2} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

解题步骤 3.3.2.2

约去公因数。

$\frac{{\sin (x)}^{3} + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}{\cos (x) {\cos (x)}^{2} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

解题步骤 3.3.2.3

重写表达式。

$\frac{{\sin (x)}^{3} + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

解题步骤 3.4

化简分子。

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解题步骤 3.4.1

将 ${\cos (x)}^{3} \cdot - 1$ 重写为 ${(\cos (x) \cdot - 1)}^{3}$ 。

$\frac{{\sin (x)}^{3} + {(\cos (x) \cdot - 1)}^{3}}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

解题步骤 3.4.2

因为两项都是完全立方数，所以使用立方和公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = \sin (x)$ 和 $b = \cos (x) \cdot - 1$ 。

$\frac{(\sin (x) + \cos (x) \cdot - 1) ({\sin (x)}^{2} - \sin (x) (\cos (x) \cdot - 1) + {(\cos (x) \cdot - 1)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

解题步骤 3.4.3

化简。

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解题步骤 3.4.3.1

将 $- 1$ 移到 $\cos (x)$ 的左侧。

$\frac{(\sin (x) - 1 \cdot \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} - \sin (x) (\cos (x) \cdot - 1) + {(\cos (x) \cdot - 1)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

解题步骤 3.4.3.2

将 $- 1 \cos (x)$ 重写为 $- \cos (x)$ 。

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} - \sin (x) (\cos (x) \cdot - 1) + {(\cos (x) \cdot - 1)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

解题步骤 3.4.3.3

将 $- 1$ 移到 $\cos (x)$ 的左侧。

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} - \sin (x) (- 1 \cdot \cos (x)) + {(\cos (x) \cdot - 1)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

解题步骤 3.4.3.4

将 $- 1 \cos (x)$ 重写为 $- \cos (x)$ 。

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} - \sin (x) (- \cos (x)) + {(\cos (x) \cdot - 1)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

解题步骤 3.4.3.5

乘以 $- \sin (x) (- \cos (x))$ 。

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解题步骤 3.4.3.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} + 1 \sin (x) \cos (x) + {(\cos (x) \cdot - 1)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

解题步骤 3.4.3.5.2

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + {(\cos (x) \cdot - 1)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

解题步骤 3.4.3.6

将 $- 1$ 移到 $\cos (x)$ 的左侧。

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + {(- 1 \cdot \cos (x))}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

解题步骤 3.4.3.7

将 $- 1 \cos (x)$ 重写为 $- \cos (x)$ 。

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + {(- \cos (x))}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

解题步骤 3.4.3.8

对 $- \cos (x)$ 运用乘积法则。

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + {(- 1)}^{2} {\cos (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

解题步骤 3.4.3.9

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + 1 {\cos (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

解题步骤 3.4.3.10

将 ${\cos (x)}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + {\cos (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

解题步骤 3.5

化简分母。

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解题步骤 3.5.1

从 ${\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1$ 中分解出因数 ${\cos (x)}^{2}$ 。

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解题步骤 3.5.1.1

从 ${\cos (x)}^{2} \sin (x)$ 中分解出因数 ${\cos (x)}^{2}$ 。

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + {\cos (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} (\sin (x)) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

解题步骤 3.5.1.2

从 ${\cos (x)}^{3} \cdot - 1$ 中分解出因数 ${\cos (x)}^{2}$ 。

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + {\cos (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} (\sin (x)) + {\cos (x)}^{2} (\cos (x) \cdot - 1)}$

解题步骤 3.5.1.3

从 ${\cos (x)}^{2} (\sin (x)) + {\cos (x)}^{2} (\cos (x) \cdot - 1)$ 中分解出因数 ${\cos (x)}^{2}$ 。

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + {\cos (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} (\sin (x) + \cos (x) \cdot - 1)}$

解题步骤 3.5.2

将 $- 1$ 移到 $\cos (x)$ 的左侧。

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + {\cos (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} (\sin (x) - 1 \cdot \cos (x))}$

解题步骤 3.5.3

将 $- 1 \cos (x)$ 重写为 $- \cos (x)$ 。

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + {\cos (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} (\sin (x) - \cos (x))}$

解题步骤 3.6

约去 $\sin (x) - \cos (x)$ 的公因数。

$\frac{\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 4

重新排序项。

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 5

将 $\frac{\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$ 重写为 $\tan^{2} (x) + \tan (x) + 1$ 。

$\tan^{2} (x) + \tan (x) + 1$

解题步骤 6

因为两边已证明为相等，所以方程为恒等式。

$\frac{\tan^{3} (x) - 1}{\tan (x) - 1} = \tan^{2} (x) + \tan (x) + 1$ 是一个恒等式

代数 示例

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