代数示例

$\frac{x + 3}{4} + \frac{y - 1}{3} = 1$ , $2 x - y = 12$

解题步骤 1

将各个平面方程转化为标准形式。

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解题步骤 1.1

化简。

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解题步骤 1.1.1

要将 $\frac{x + 3}{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{x + 3}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{y - 1}{3} = 1, 2 x - y = 12$

解题步骤 1.1.2

要将 $\frac{y - 1}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{x + 3}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{y - 1}{3} \cdot \frac{4}{4} = 1, 2 x - y = 12$

解题步骤 1.1.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $12$ 的形式。

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解题步骤 1.1.3.1

将 $\frac{x + 3}{4}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{(x + 3) \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{y - 1}{3} \cdot \frac{4}{4} = 1, 2 x - y = 12$

解题步骤 1.1.3.2

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{(x + 3) \cdot 3}{12} + \frac{y - 1}{3} \cdot \frac{4}{4} = 1, 2 x - y = 12$

解题步骤 1.1.3.3

将 $\frac{y - 1}{3}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{(x + 3) \cdot 3}{12} + \frac{(y - 1) \cdot 4}{3 \cdot 4} = 1, 2 x - y = 12$

解题步骤 1.1.3.4

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$\frac{(x + 3) \cdot 3}{12} + \frac{(y - 1) \cdot 4}{12} = 1, 2 x - y = 12$

解题步骤 1.1.4

在公分母上合并分子。

$\frac{(x + 3) \cdot 3 + (y - 1) \cdot 4}{12} = 1, 2 x - y = 12$

解题步骤 1.1.5

化简分子。

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解题步骤 1.1.5.1

运用分配律。

$\frac{x \cdot 3 + 3 \cdot 3 + (y - 1) \cdot 4}{12} = 1, 2 x - y = 12$

解题步骤 1.1.5.2

将 $3$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{3 \cdot x + 3 \cdot 3 + (y - 1) \cdot 4}{12} = 1, 2 x - y = 12$

解题步骤 1.1.5.3

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{3 \cdot x + 9 + (y - 1) \cdot 4}{12} = 1, 2 x - y = 12$

解题步骤 1.1.5.4

运用分配律。

$\frac{3 x + 9 + y \cdot 4 - 1 \cdot 4}{12} = 1, 2 x - y = 12$

解题步骤 1.1.5.5

将 $4$ 移到 $y$ 的左侧。

$\frac{3 x + 9 + 4 \cdot y - 1 \cdot 4}{12} = 1, 2 x - y = 12$

解题步骤 1.1.5.6

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{3 x + 9 + 4 \cdot y - 4}{12} = 1, 2 x - y = 12$

解题步骤 1.1.5.7

从 $9$ 中减去 $4$ 。

$\frac{3 x + 4 y + 5}{12} = 1, 2 x - y = 12$

解题步骤 1.2

分解分数 $\frac{3 x + 4 y + 5}{12}$ 成为两个分数。

$\frac{3 x + 4 y}{12} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

解题步骤 1.3

分解分数 $\frac{3 x + 4 y}{12}$ 成为两个分数。

$\frac{3 x}{12} + \frac{4 y}{12} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

解题步骤 1.4

约去 $3$ 和 $12$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.1

从 $3 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (x)}{12} + \frac{4 y}{12} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

解题步骤 1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 1.4.2.1

从 $12$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 x}{3 \cdot 4} + \frac{4 y}{12} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

解题步骤 1.4.2.2

约去公因数。

$\frac{3 x}{3 \cdot 4} + \frac{4 y}{12} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

解题步骤 1.4.2.3

重写表达式。

$\frac{x}{4} + \frac{4 y}{12} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

$\frac{x}{4} + \frac{4 y}{12} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

$\frac{x}{4} + \frac{4 y}{12} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

解题步骤 1.5

约去 $4$ 和 $12$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.1

从 $4 y$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{x}{4} + \frac{4 (y)}{12} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

解题步骤 1.5.2

约去公因数。

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解题步骤 1.5.2.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{x}{4} + \frac{4 y}{4 \cdot 3} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

解题步骤 1.5.2.2

约去公因数。

$\frac{x}{4} + \frac{4 y}{4 \cdot 3} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

解题步骤 1.5.2.3

重写表达式。

$\frac{x}{4} + \frac{y}{3} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

$\frac{x}{4} + \frac{y}{3} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

$\frac{x}{4} + \frac{y}{3} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

解题步骤 1.6

从等式两边同时减去 $\frac{5}{12}$ 。

$\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = 1 - \frac{5}{12}, 2 x - y = 12$

解题步骤 1.7

化简右边。

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解题步骤 1.7.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = \frac{12}{12} - \frac{5}{12}, 2 x - y = 12$

解题步骤 1.7.2

在公分母上合并分子。

$\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = \frac{12 - 5}{12}, 2 x - y = 12$

解题步骤 1.7.3

从 $12$ 中减去 $5$ 。

$\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = \frac{7}{12}, 2 x - y = 12$

解题步骤 2

要求经过点 $(p, q, r)$ 且垂直于平面 $P_{1}$ $a x + b y + c z = d$ 和平面 $P_{2}$ $e x + f y + g z = h$ 直线的交点：

1. 求平面 $P_{1}$ 和平面 $P_{2}$ 的法向量 $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ 和 $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ 。检验其点积是否为 0。

2. 创建一个参数方程组，比如 $x = p + a t$ 、 $y = q + b t$ 和 $z = r + c t$ 。

3. 将这些等式代入平面方程 $P_{2}$ ，使得 $e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h$ 并求解 $t$ 。

4. 使用 $t$ 的值，求解参数方程 $x = p + a t$ 、 $y = q + b t$ 和 $z = r + c t$ ，以求 $t$ 的交集 $(x, y, z)$ 。

解题步骤 3

求每一平面的法向量并通过计算点积来判断它们是否垂直。

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解题步骤 3.1

$P_{1}$ 为 $\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = \frac{7}{12}$ 。求平面方程 $a x + b y + c z = d$ 的法向量 $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ 。

$n_{1} = ⟨ \frac{1}{4}, \frac{1}{3}, 0 ⟩$

解题步骤 3.2

$P_{2}$ 为 $2 x - y = 12$ 。求平面方程 $e x + f y + g z = h$ 的法向量 $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ 。

$n_{2} = ⟨ 2, - 1, 0 ⟩$

解题步骤 3.3

将法向量中相对应的 $x$ 、 $y$ 和 $z$ 数值乘积相加，计算 $n_{1}$ 和 $n_{2}$ 的点积。

$\frac{1}{4} \cdot 2 + \frac{1}{3} \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

解题步骤 3.4

化简点积。

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解题步骤 3.4.1

去掉圆括号。

$\frac{1}{4} \cdot 2 + \frac{1}{3} \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

解题步骤 3.4.2

化简每一项。

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解题步骤 3.4.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.1.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2 (2)} \cdot 2 + \frac{1}{3} \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

解题步骤 3.4.2.1.2

约去公因数。

$\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2 + \frac{1}{3} \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

解题步骤 3.4.2.1.3

重写表达式。

$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

解题步骤 3.4.2.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $- 1$ 。

$\frac{1}{2} + \frac{- 1}{3} + 0 \cdot 0$

解题步骤 3.4.2.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} - \frac{1}{3} + 0 \cdot 0$

解题步骤 3.4.2.4

将 $0$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{2} - \frac{1}{3} + 0$

解题步骤 3.4.3

要将 $\frac{1}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} + 0$

解题步骤 3.4.4

要将 $- \frac{1}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + 0$

解题步骤 3.4.5

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $6$ 的形式。

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解题步骤 3.4.5.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{3}{2 \cdot 3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + 0$

解题步骤 3.4.5.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{3}{6} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + 0$

解题步骤 3.4.5.3

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3}{6} - \frac{2}{3 \cdot 2} + 0$

解题步骤 3.4.5.4

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3}{6} - \frac{2}{6} + 0$

解题步骤 3.4.6

在公分母上合并分子。

$\frac{3 - 2}{6} + 0$

解题步骤 3.4.7

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{6} + 0$

解题步骤 3.4.8

将 $\frac{1}{6}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{6}$

解题步骤 4

下一步，使用点 $(p, q, r)$ 的原点 $(0, 0, 0)$ 和标准向量 $\frac{1}{6}$ 的 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值，建立一组参数方程 $x = p + a t$ 、 $y = q + b t$ 和 $z = r + c t$ 。这组参数方程表示经过原点并与 $P_{1}$ $\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = \frac{7}{12}$ 垂直的直线。

$x = 0 + \frac{1}{4} t$

$y = 0 + \frac{1}{3} t$

$z = 0 + 0 \cdot t$

解题步骤 5

将表达式 $x$ 、 $y$ 和 $z$ 代入 $P_{2}$ $2 x - y = 12$ 的方程。

$2 (0 + \frac{1}{4} t) - (0 + \frac{1}{3} t) = 12$

解题步骤 6

求解 $t$ 的方程。

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解题步骤 6.1

化简 $2 (0 + \frac{1}{4} t) - (0 + \frac{1}{3} t)$ 。

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解题步骤 6.1.1

合并 $2 (0 + \frac{1}{4} t) - (0 + \frac{1}{3} t)$ 中相反的项。

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解题步骤 6.1.1.1

将 $0$ 和 $\frac{1}{4} t$ 相加。

$2 (\frac{1}{4} t) - (0 + \frac{1}{3} t) = 12$

解题步骤 6.1.1.2

将 $0$ 和 $\frac{1}{3} t$ 相加。

$2 (\frac{1}{4} t) - (\frac{1}{3} t) = 12$

解题步骤 6.1.2

化简每一项。

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解题步骤 6.1.2.1

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $t$ 。

$2 \frac{t}{4} - (\frac{1}{3} t) = 12$

解题步骤 6.1.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.2.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 \frac{t}{2 (2)} - (\frac{1}{3} t) = 12$

解题步骤 6.1.2.2.2

约去公因数。

$2 \frac{t}{2 \cdot 2} - (\frac{1}{3} t) = 12$

解题步骤 6.1.2.2.3

重写表达式。

$\frac{t}{2} - (\frac{1}{3} t) = 12$

解题步骤 6.1.2.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $t$ 。

$\frac{t}{2} - \frac{t}{3} = 12$

解题步骤 6.1.3

要将 $\frac{t}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{t}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{t}{3} = 12$

解题步骤 6.1.4

要将 $- \frac{t}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{t}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{t}{3} \cdot \frac{2}{2} = 12$

解题步骤 6.1.5

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $6$ 的形式。

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解题步骤 6.1.5.1

将 $\frac{t}{2}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{t \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{t}{3} \cdot \frac{2}{2} = 12$

解题步骤 6.1.5.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{t \cdot 3}{6} - \frac{t}{3} \cdot \frac{2}{2} = 12$

解题步骤 6.1.5.3

将 $\frac{t}{3}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{t \cdot 3}{6} - \frac{t \cdot 2}{3 \cdot 2} = 12$

解题步骤 6.1.5.4

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{t \cdot 3}{6} - \frac{t \cdot 2}{6} = 12$

解题步骤 6.1.6

在公分母上合并分子。

$\frac{t \cdot 3 - t \cdot 2}{6} = 12$

解题步骤 6.1.7

化简分子。

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解题步骤 6.1.7.1

从 $t \cdot 3 - t \cdot 2$ 中分解出因数 $t$ 。

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解题步骤 6.1.7.1.1

从 $t \cdot 3$ 中分解出因数 $t$ 。

$\frac{t (3) - t \cdot 2}{6} = 12$

解题步骤 6.1.7.1.2

从 $- t \cdot 2$ 中分解出因数 $t$ 。

$\frac{t (3) + t (- 1 \cdot 2)}{6} = 12$

解题步骤 6.1.7.1.3

从 $t (3) + t (- 1 \cdot 2)$ 中分解出因数 $t$ 。

$\frac{t (3 - 1 \cdot 2)}{6} = 12$

解题步骤 6.1.7.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{t (3 - 2)}{6} = 12$

解题步骤 6.1.7.3

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$\frac{t \cdot 1}{6} = 12$

解题步骤 6.1.8

将 $t$ 乘以 $1$ 。

$\frac{t}{6} = 12$

解题步骤 6.2

等式两边同时乘以 $6$ 。

$6 \frac{t}{6} = 6 \cdot 12$

解题步骤 6.3

化简方程的两边。

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解题步骤 6.3.1

化简左边。

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解题步骤 6.3.1.1

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.1.1.1

约去公因数。

$6 \frac{t}{6} = 6 \cdot 12$

解题步骤 6.3.1.1.2

重写表达式。

$t = 6 \cdot 12$

解题步骤 6.3.2

化简右边。

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解题步骤 6.3.2.1

将 $6$ 乘以 $12$ 。

$t = 72$

解题步骤 7

使用 $t$ 的值求解 $x$ 、 $y$ 和 $z$ 的参数方程。

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解题步骤 7.1

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 7.1.1

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $72$ 。

$x = 0 + \frac{1}{4} \cdot 72$

解题步骤 7.1.2

去掉圆括号。

$x = 0 + \frac{1}{4} \cdot (72)$

解题步骤 7.1.3

化简 $0 + \frac{1}{4} \cdot (72)$ 。

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解题步骤 7.1.3.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.3.1.1

从 $72$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = 0 + \frac{1}{4} \cdot (4 (18))$

解题步骤 7.1.3.1.2

约去公因数。

$x = 0 + \frac{1}{4} \cdot (4 \cdot 18)$

解题步骤 7.1.3.1.3

重写表达式。

$x = 0 + 18$

解题步骤 7.1.3.2

将 $0$ 和 $18$ 相加。

$x = 18$

解题步骤 7.2

求解 $y$ 的方程。

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解题步骤 7.2.1

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $72$ 。

$y = 0 + \frac{1}{3} \cdot 72$

解题步骤 7.2.2

去掉圆括号。

$y = 0 + \frac{1}{3} \cdot (72)$

解题步骤 7.2.3

化简 $0 + \frac{1}{3} \cdot (72)$ 。

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解题步骤 7.2.3.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.3.1.1

从 $72$ 中分解出因数 $3$ 。

$y = 0 + \frac{1}{3} \cdot (3 (24))$

解题步骤 7.2.3.1.2

约去公因数。

$y = 0 + \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 24)$

解题步骤 7.2.3.1.3

重写表达式。

$y = 0 + 24$

解题步骤 7.2.3.2

将 $0$ 和 $24$ 相加。

$y = 24$

解题步骤 7.3

求解 $z$ 的方程。

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解题步骤 7.3.1

去掉圆括号。

$z = 0 + 0 \cdot (72)$

解题步骤 7.3.2

化简 $0 + 0 \cdot (72)$ 。

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解题步骤 7.3.2.1

将 $0$ 乘以 $72$ 。

$z = 0 + 0$

解题步骤 7.3.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$z = 0$

解题步骤 7.4

所求得的 $x$ 、 $y$ 和 $z$ 的参数方程。

$x = 18$

$y = 24$

$z = 0$

$x = 18$

$y = 24$

$z = 0$

解题步骤 8

使用对 $x$ 、 $y$ 和 $z$ 计算所得的值，求得的交点为 $(18, 24, 0)$ 。

$(18, 24, 0)$

代数 示例

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