代数示例

$\ln^{2} (x)$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

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解题步骤 1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\ln (x)$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\ln (x))$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = 2 u \frac{d}{d x} (\ln (x))$

解题步骤 1.1.3

使用 $\ln (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f' (x) = 2 \ln (x) \frac{d}{d x} (\ln (x))$

解题步骤 1.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$f' (x) = 2 \ln (x) (\frac{1}{x})$

解题步骤 1.3

合并分数。

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解题步骤 1.3.1

组合 $\frac{1}{x}$ 和 $2$ 。

$f' (x) = \frac{2}{x} \cdot \ln (x)$

解题步骤 1.3.2

组合 $\frac{2}{x}$ 和 $\ln (x)$ 。

$f' (x) = \frac{2 \ln (x)}{x}$

解题步骤 1.4

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \ln (x)$ 。

$f' (x) = \frac{\ln (x^{2})}{x}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = \ln (x^{2})$ 且 $g (x) = x$ 。

$f'' (x) = \frac{x \frac{d}{d x} (\ln (x^{2})) - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{x (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (x^{2})) - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

解题步骤 2.2.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$f'' (x) = \frac{x (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})) - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

解题步骤 2.2.3

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = \frac{x (\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})) - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 2.3.1

组合 $\frac{1}{x^{2}}$ 和 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{x}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}) - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

解题步骤 2.3.2

约去 $x$ 和 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{\frac{x}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}) - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

解题步骤 2.3.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{x \cdot 1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}) - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

解题步骤 2.3.2.3

约去公因数。

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解题步骤 2.3.2.3.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}) - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

解题步骤 2.3.2.3.2

约去公因数。

$f'' (x) = \frac{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}) - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

解题步骤 2.3.2.3.3

重写表达式。

$f'' (x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}) - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

解题步骤 2.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot (2 x) - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

解题步骤 2.3.4

化简项。

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解题步骤 2.3.4.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2}{x} \cdot x - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

解题步骤 2.3.4.2

组合 $\frac{2}{x}$ 和 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x}{x} - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

解题步骤 2.3.4.3

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.4.3.1

约去公因数。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x}{x} - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

解题步骤 2.3.4.3.2

用 $2$ 除以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{2 - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

解题步骤 2.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = \frac{2 - \ln (x^{2}) \cdot 1}{x^{2}}$

解题步骤 2.3.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{2 - \ln (x^{2})}{x^{2}}$

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