代数示例

${(3 (\cos (30) + i \sin (30)))}^{3}$

解题步骤 1

化简项。

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解题步骤 1.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.1

$\cos (30)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

${(3 (\frac{\sqrt{3}}{2} + i \sin (30)))}^{3}$

解题步骤 1.1.2

$\sin (30)$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

${(3 (\frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2}))}^{3}$

解题步骤 1.1.3

组合 $i$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

${(3 (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}))}^{3}$

解题步骤 1.2

化简项。

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解题步骤 1.2.1

运用分配律。

${(3 \frac{\sqrt{3}}{2} + 3 \frac{i}{2})}^{3}$

解题步骤 1.2.2

组合 $3$ 和 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

${(\frac{3 \sqrt{3}}{2} + 3 \frac{i}{2})}^{3}$

解题步骤 1.2.3

组合 $3$ 和 $\frac{i}{2}$ 。

${(\frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2})}^{3}$

解题步骤 2

使用二项式定理。

${(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{3} + 3 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{3 i}{2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

解题步骤 3

化简项。

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解题步骤 3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 3.1.1.1

对 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{{(3 \sqrt{3})}^{3}}{2^{3}} + 3 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{3 i}{2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.1.2

对 $3 \sqrt{3}$ 运用乘积法则。

$\frac{3^{3} {\sqrt{3}}^{3}}{2^{3}} + 3 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{3 i}{2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.2

化简分子。

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解题步骤 3.1.2.1

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{27 {\sqrt{3}}^{3}}{2^{3}} + 3 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{3 i}{2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.2.2

将 ${\sqrt{3}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{3^{3}}$ 。

$\frac{27 \sqrt{3^{3}}}{2^{3}} + 3 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{3 i}{2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.2.3

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{27 \sqrt{27}}{2^{3}} + 3 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{3 i}{2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.2.4

将 $27$ 重写为 $3^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 3.1.2.4.1

从 $27$ 中分解出因数 $9$ 。

$\frac{27 \sqrt{9 (3)}}{2^{3}} + 3 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{3 i}{2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.2.4.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{27 \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2^{3}} + 3 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{3 i}{2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.2.5

从根式下提出各项。

$\frac{27 \cdot 3 \sqrt{3}}{2^{3}} + 3 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{3 i}{2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.2.6

将 $27$ 乘以 $3$ 。

$\frac{81 \sqrt{3}}{2^{3}} + 3 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{3 i}{2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.3

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + 3 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{3 i}{2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.4

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 3.1.4.1

对 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + 3 \frac{{(3 \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}} \frac{3 i}{2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.4.2

对 $3 \sqrt{3}$ 运用乘积法则。

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + 3 \frac{3^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} \frac{3 i}{2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.5

化简分子。

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解题步骤 3.1.5.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + 3 \frac{9 {\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} \frac{3 i}{2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.5.2

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 3.1.5.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + 3 \frac{9 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} \frac{3 i}{2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.5.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + 3 \frac{9 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} \frac{3 i}{2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.5.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + 3 \frac{9 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} \frac{3 i}{2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.5.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.5.2.4.1

约去公因数。

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + 3 \frac{9 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} \frac{3 i}{2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.5.2.4.2

重写表达式。

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + 3 \frac{9 \cdot 3^{1}}{2^{2}} \frac{3 i}{2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.5.2.5

计算指数。

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + 3 \frac{9 \cdot 3}{2^{2}} \frac{3 i}{2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.6

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + 3 \frac{9 \cdot 3}{4} \frac{3 i}{2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.7

将 $9$ 乘以 $3$ 。

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + 3 (\frac{27}{4}) \frac{3 i}{2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.8

乘以 $3 (\frac{27}{4})$ 。

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解题步骤 3.1.8.1

组合 $3$ 和 $\frac{27}{4}$ 。

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{3 \cdot 27}{4} \cdot \frac{3 i}{2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.8.2

将 $3$ 乘以 $27$ 。

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{81}{4} \cdot \frac{3 i}{2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.9

乘以 $\frac{81}{4} \cdot \frac{3 i}{2}$ 。

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解题步骤 3.1.9.1

将 $\frac{81}{4}$ 乘以 $\frac{3 i}{2}$ 。

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{81 (3 i)}{4 \cdot 2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.9.2

将 $3$ 乘以 $81$ 。

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{4 \cdot 2} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.9.3

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} + 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.10

乘以 $3 \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ 。

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解题步骤 3.1.10.1

组合 $3$ 和 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} + \frac{3 (3 \sqrt{3})}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.10.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} + \frac{9 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.11

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 3.1.11.1

对 $\frac{3 i}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} + \frac{9 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{{(3 i)}^{2}}{2^{2}} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.11.2

对 $3 i$ 运用乘积法则。

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} + \frac{9 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3^{2} i^{2}}{2^{2}} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.12

合并。

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} + \frac{9 \sqrt{3} (3^{2} i^{2})}{2 \cdot 2^{2}} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.13

通过指数相加将 $2$ 乘以 $2^{2}$ 。

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解题步骤 3.1.13.1

将 $2$ 乘以 $2^{2}$ 。

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解题步骤 3.1.13.1.1

对 $2$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} + \frac{9 \sqrt{3} (3^{2} i^{2})}{2^{1} \cdot 2^{2}} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.13.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} + \frac{9 \sqrt{3} (3^{2} i^{2})}{2^{1 + 2}} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.13.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} + \frac{9 \sqrt{3} (3^{2} i^{2})}{2^{3}} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.14

化简分子。

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解题步骤 3.1.14.1

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} + \frac{3^{2} \cdot 3^{2} \sqrt{3} i^{2}}{2^{3}} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.14.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} + \frac{3^{2 + 2} \sqrt{3} i^{2}}{2^{3}} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.14.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} + \frac{3^{4} \sqrt{3} i^{2}}{2^{3}} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.15

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} + \frac{3^{4} \sqrt{3} i^{2}}{8} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.16

化简分子。

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解题步骤 3.1.16.1

对 $3$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} + \frac{81 \sqrt{3} i^{2}}{8} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.16.2

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} + \frac{81 \sqrt{3} \cdot - 1}{8} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.16.3

将 $- 1$ 乘以 $81$ 。

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} + \frac{- 81 \sqrt{3}}{8} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.17

将负号移到分数的前面。

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} - \frac{81 \sqrt{3}}{8} + {(\frac{3 i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.18

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 3.1.18.1

对 $\frac{3 i}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} - \frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{{(3 i)}^{3}}{2^{3}}$

解题步骤 3.1.18.2

对 $3 i$ 运用乘积法则。

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} - \frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{3^{3} i^{3}}{2^{3}}$

解题步骤 3.1.19

化简分子。

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解题步骤 3.1.19.1

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} - \frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{27 i^{3}}{2^{3}}$

解题步骤 3.1.19.2

因式分解出 $i^{2}$ 。

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} - \frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{27 (i^{2} \cdot i)}{2^{3}}$

解题步骤 3.1.19.3

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} - \frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{27 (- 1 \cdot i)}{2^{3}}$

解题步骤 3.1.19.4

将 $- 1 i$ 重写为 $- i$ 。

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} - \frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{27 \cdot - 1 i}{2^{3}}$

解题步骤 3.1.19.5

合并指数。

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解题步骤 3.1.19.5.1

提取负因数。

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} - \frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{- (27 i)}{2^{3}}$

解题步骤 3.1.19.5.2

将 $27$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} - \frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{- 27 i}{2^{3}}$

解题步骤 3.1.20

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} - \frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{- 27 i}{8}$

解题步骤 3.1.21

将负号移到分数的前面。

$\frac{81 \sqrt{3}}{8} + \frac{243 i}{8} - \frac{81 \sqrt{3}}{8} - \frac{27 i}{8}$

解题步骤 3.2

化简项。

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解题步骤 3.2.1

在公分母上合并分子。

$\frac{81 \sqrt{3} + 243 i - 81 \sqrt{3} - 27 i}{8}$

解题步骤 3.2.2

从 $81 \sqrt{3}$ 中减去 $81 \sqrt{3}$ 。

$\frac{0 + 243 i - 27 i}{8}$

解题步骤 3.2.3

将 $0$ 和 $243 i$ 相加。

$\frac{243 i - 27 i}{8}$

解题步骤 3.2.4

从 $243 i$ 中减去 $27 i$ 。

$\frac{216 i}{8}$

解题步骤 3.2.5

约去 $216$ 和 $8$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.5.1

从 $216 i$ 中分解出因数 $8$ 。

$\frac{8 (27 i)}{8}$

解题步骤 3.2.5.2

约去公因数。

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解题步骤 3.2.5.2.1

从 $8$ 中分解出因数 $8$ 。

$\frac{8 (27 i)}{8 (1)}$

解题步骤 3.2.5.2.2

约去公因数。

$\frac{8 (27 i)}{8 \cdot 1}$

解题步骤 3.2.5.2.3

重写表达式。

$\frac{27 i}{1}$

解题步骤 3.2.5.2.4

用 $27 i$ 除以 $1$ 。

$27 i$

代数 示例

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