代数示例

${(3 + 4 i)}^{4}$

解题步骤 1

使用二项式展开定理求每一项。二项式定理表述为 ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ 。

$\sum_{k = 0}^{4} \frac{4!}{(4 - k)! k!} \cdot {(3)}^{4 - k} \cdot {(4 i)}^{k}$

解题步骤 2

展开求和公式。

$\frac{4!}{(4 - 0)! 0!} \cdot {(3)}^{4 - 0} \cdot {(4 i)}^{0} + \frac{4!}{(4 - 1)! 1!} \cdot {(3)}^{4 - 1} \cdot {(4 i)}^{1} + \frac{4!}{(4 - 2)! 2!} \cdot {(3)}^{4 - 2} \cdot {(4 i)}^{2} + \frac{4!}{(4 - 3)! 3!} \cdot {(3)}^{4 - 3} \cdot {(4 i)}^{3} + \frac{4!}{(4 - 4)! 4!} \cdot {(3)}^{4 - 4} \cdot {(4 i)}^{4}$

解题步骤 3

化简展开式每一项的指数。

$1 \cdot {(3)}^{4} \cdot {(4 i)}^{0} + 4 \cdot {(3)}^{3} \cdot {(4 i)}^{1} + 6 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(4 i)}^{2} + 4 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(4 i)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

解题步骤 4

化简多项式结果。

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解题步骤 4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1

将 ${(3)}^{4}$ 乘以 $1$ 。

${(3)}^{4} \cdot {(4 i)}^{0} + 4 \cdot {(3)}^{3} \cdot {(4 i)}^{1} + 6 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(4 i)}^{2} + 4 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(4 i)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

解题步骤 4.1.2

对 $3$ 进行 $4$ 次方运算。

$81 \cdot {(4 i)}^{0} + 4 \cdot {(3)}^{3} \cdot {(4 i)}^{1} + 6 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(4 i)}^{2} + 4 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(4 i)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

解题步骤 4.1.3

对 $4 i$ 运用乘积法则。

$81 \cdot (4^{0} i^{0}) + 4 \cdot {(3)}^{3} \cdot {(4 i)}^{1} + 6 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(4 i)}^{2} + 4 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(4 i)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

解题步骤 4.1.4

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$81 \cdot (1 i^{0}) + 4 \cdot {(3)}^{3} \cdot {(4 i)}^{1} + 6 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(4 i)}^{2} + 4 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(4 i)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

解题步骤 4.1.5

将 $i^{0}$ 乘以 $1$ 。

$81 \cdot i^{0} + 4 \cdot {(3)}^{3} \cdot {(4 i)}^{1} + 6 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(4 i)}^{2} + 4 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(4 i)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

解题步骤 4.1.6

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$81 \cdot 1 + 4 \cdot {(3)}^{3} \cdot {(4 i)}^{1} + 6 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(4 i)}^{2} + 4 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(4 i)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

解题步骤 4.1.7

将 $81$ 乘以 $1$ 。

$81 + 4 \cdot {(3)}^{3} \cdot {(4 i)}^{1} + 6 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(4 i)}^{2} + 4 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(4 i)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

解题步骤 4.1.8

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$81 + 4 \cdot 27 \cdot {(4 i)}^{1} + 6 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(4 i)}^{2} + 4 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(4 i)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

解题步骤 4.1.9

将 $4$ 乘以 $27$ 。

$81 + 108 \cdot {(4 i)}^{1} + 6 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(4 i)}^{2} + 4 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(4 i)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

解题步骤 4.1.10

化简。

$81 + 108 \cdot (4 i) + 6 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(4 i)}^{2} + 4 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(4 i)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

解题步骤 4.1.11

将 $4$ 乘以 $108$ 。

$81 + 432 i + 6 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(4 i)}^{2} + 4 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(4 i)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

解题步骤 4.1.12

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$81 + 432 i + 6 \cdot 9 \cdot {(4 i)}^{2} + 4 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(4 i)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

解题步骤 4.1.13

将 $6$ 乘以 $9$ 。

$81 + 432 i + 54 \cdot {(4 i)}^{2} + 4 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(4 i)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

解题步骤 4.1.14

对 $4 i$ 运用乘积法则。

$81 + 432 i + 54 \cdot (4^{2} i^{2}) + 4 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(4 i)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

解题步骤 4.1.15

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$81 + 432 i + 54 \cdot (16 i^{2}) + 4 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(4 i)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

解题步骤 4.1.16

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$81 + 432 i + 54 \cdot (16 \cdot - 1) + 4 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(4 i)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

解题步骤 4.1.17

乘以 $54 (16 \cdot - 1)$ 。

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解题步骤 4.1.17.1

将 $16$ 乘以 $- 1$ 。

$81 + 432 i + 54 \cdot - 16 + 4 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(4 i)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

解题步骤 4.1.17.2

将 $54$ 乘以 $- 16$ 。

$81 + 432 i - 864 + 4 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(4 i)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

解题步骤 4.1.18

计算指数。

$81 + 432 i - 864 + 4 \cdot 3 \cdot {(4 i)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

解题步骤 4.1.19

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$81 + 432 i - 864 + 12 \cdot {(4 i)}^{3} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

解题步骤 4.1.20

对 $4 i$ 运用乘积法则。

$81 + 432 i - 864 + 12 \cdot (4^{3} i^{3}) + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

解题步骤 4.1.21

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$81 + 432 i - 864 + 12 \cdot (64 i^{3}) + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

解题步骤 4.1.22

因式分解出 $i^{2}$ 。

$81 + 432 i - 864 + 12 \cdot (64 (i^{2} \cdot i)) + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

解题步骤 4.1.23

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$81 + 432 i - 864 + 12 \cdot (64 (- 1 \cdot i)) + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

解题步骤 4.1.24

将 $- 1 i$ 重写为 $- i$ 。

$81 + 432 i - 864 + 12 \cdot (64 (- i)) + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

解题步骤 4.1.25

将 $- 1$ 乘以 $64$ 。

$81 + 432 i - 864 + 12 \cdot (- 64 i) + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

解题步骤 4.1.26

将 $- 64$ 乘以 $12$ 。

$81 + 432 i - 864 - 768 i + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

解题步骤 4.1.27

将 ${(3)}^{0}$ 乘以 $1$ 。

$81 + 432 i - 864 - 768 i + {(3)}^{0} \cdot {(4 i)}^{4}$

解题步骤 4.1.28

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$81 + 432 i - 864 - 768 i + 1 \cdot {(4 i)}^{4}$

解题步骤 4.1.29

将 ${(4 i)}^{4}$ 乘以 $1$ 。

$81 + 432 i - 864 - 768 i + {(4 i)}^{4}$

解题步骤 4.1.30

对 $4 i$ 运用乘积法则。

$81 + 432 i - 864 - 768 i + 4^{4} i^{4}$

解题步骤 4.1.31

对 $4$ 进行 $4$ 次方运算。

$81 + 432 i - 864 - 768 i + 256 i^{4}$

解题步骤 4.1.32

将 $i^{4}$ 重写为 $1$ 。

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解题步骤 4.1.32.1

将 $i^{4}$ 重写为 ${(i^{2})}^{2}$ 。

$81 + 432 i - 864 - 768 i + 256 {(i^{2})}^{2}$

解题步骤 4.1.32.2

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$81 + 432 i - 864 - 768 i + 256 {(- 1)}^{2}$

解题步骤 4.1.32.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$81 + 432 i - 864 - 768 i + 256 \cdot 1$

解题步骤 4.1.33

将 $256$ 乘以 $1$ 。

$81 + 432 i - 864 - 768 i + 256$

解题步骤 4.2

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 4.2.1

从 $81$ 中减去 $864$ 。

$- 783 + 432 i - 768 i + 256$

解题步骤 4.2.2

将 $- 783$ 和 $256$ 相加。

$- 527 + 432 i - 768 i$

解题步骤 4.2.3

从 $432 i$ 中减去 $768 i$ 。

$- 527 - 336 i$

代数 示例

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