代数示例

$f (x) = \frac{1}{x^{2} + 1}$ , $g (x) = x^{- 6}$

解题步骤 1

建立复合结果函数。

$f (g (x))$

解题步骤 2

通过将 $g$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (x^{- 6})$ 。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{{(x^{- 6})}^{2} + 1}$

解题步骤 3

化简分母。

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解题步骤 3.1

将 ${(x^{- 6})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{x^{- 6 \cdot 2} + 1}$

解题步骤 3.1.2

将 $- 6$ 乘以 $2$ 。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{x^{- 12} + 1}$

解题步骤 3.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1}{x^{12}} + 1}$

解题步骤 3.3

以因式分解的形式重写 $\frac{1}{x^{12}} + 1$ 。

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解题步骤 3.3.1

将 $1$ 重写为 $1^{3}$ 。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1^{3}}{x^{12}} + 1}$

解题步骤 3.3.2

将 $x^{12}$ 重写为 ${(x^{4})}^{3}$ 。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1^{3}}{{(x^{4})}^{3}} + 1}$

解题步骤 3.3.3

将 $\frac{1^{3}}{{(x^{4})}^{3}}$ 重写为 ${(\frac{1}{x^{4}})}^{3}$ 。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{{(\frac{1}{x^{4}})}^{3} + 1}$

解题步骤 3.3.4

将 $1$ 重写为 $1^{3}$ 。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{{(\frac{1}{x^{4}})}^{3} + 1^{3}}$

解题步骤 3.3.5

因为两项都是完全立方数，所以使用立方和公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = \frac{1}{x^{4}}$ 和 $b = 1$ 。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{(\frac{1}{x^{4}} + 1) ({(\frac{1}{x^{4}})}^{2} - \frac{1}{x^{4}} \cdot 1 + 1^{2})}$

解题步骤 3.3.6

化简。

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解题步骤 3.3.6.1

对 $\frac{1}{x^{4}}$ 运用乘积法则。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{(\frac{1}{x^{4}} + 1) (\frac{1^{2}}{{(x^{4})}^{2}} - \frac{1}{x^{4}} \cdot 1 + 1^{2})}$

解题步骤 3.3.6.2

一的任意次幂都为一。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{(\frac{1}{x^{4}} + 1) (\frac{1}{{(x^{4})}^{2}} - \frac{1}{x^{4}} \cdot 1 + 1^{2})}$

解题步骤 3.3.6.3

将 ${(x^{4})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.3.6.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{(\frac{1}{x^{4}} + 1) (\frac{1}{x^{4 \cdot 2}} - \frac{1}{x^{4}} \cdot 1 + 1^{2})}$

解题步骤 3.3.6.3.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{(\frac{1}{x^{4}} + 1) (\frac{1}{x^{8}} - \frac{1}{x^{4}} \cdot 1 + 1^{2})}$

解题步骤 3.3.6.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{(\frac{1}{x^{4}} + 1) (\frac{1}{x^{8}} - \frac{1}{x^{4}} + 1^{2})}$

解题步骤 3.3.6.5

一的任意次幂都为一。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{(\frac{1}{x^{4}} + 1) (\frac{1}{x^{8}} - \frac{1}{x^{4}} + 1)}$

解题步骤 3.3.6.6

重新排序项。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{(\frac{1}{x^{4}} + 1) (- \frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{8}} + 1)}$

解题步骤 3.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{(\frac{1}{x^{4}} + \frac{x^{4}}{x^{4}}) (- \frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{8}} + 1)}$

解题步骤 3.5

在公分母上合并分子。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot (- \frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{8}} + 1)}$

解题步骤 3.6

要将 $- \frac{1}{x^{4}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x^{4}}{x^{4}}$ 。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot (- \frac{1}{x^{4}} \cdot \frac{x^{4}}{x^{4}} + \frac{1}{x^{8}} + 1)}$

解题步骤 3.7

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $x^{8}$ 的形式。

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解题步骤 3.7.1

将 $\frac{1}{x^{4}}$ 乘以 $\frac{x^{4}}{x^{4}}$ 。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot (- \frac{x^{4}}{x^{4} x^{4}} + \frac{1}{x^{8}} + 1)}$

解题步骤 3.7.2

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 3.7.2.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot (- \frac{x^{4}}{x^{4 + 4}} + \frac{1}{x^{8}} + 1)}$

解题步骤 3.7.2.2

将 $4$ 和 $4$ 相加。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot (- \frac{x^{4}}{x^{8}} + \frac{1}{x^{8}} + 1)}$

解题步骤 3.8

在公分母上合并分子。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot (\frac{- x^{4} + 1}{x^{8}} + 1)}$

解题步骤 3.9

化简分子。

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解题步骤 3.9.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot (\frac{- x^{4} + 1^{2}}{x^{8}} + 1)}$

解题步骤 3.9.2

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot (\frac{- {(x^{2})}^{2} + 1^{2}}{x^{8}} + 1)}$

解题步骤 3.9.3

将 $- {(x^{2})}^{2}$ 和 $1^{2}$ 重新排序。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot (\frac{1^{2} - {(x^{2})}^{2}}{x^{8}} + 1)}$

解题步骤 3.9.4

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = x^{2}$ 。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot (\frac{(1 + x^{2}) (1 - x^{2})}{x^{8}} + 1)}$

解题步骤 3.9.5

化简。

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解题步骤 3.9.5.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot (\frac{(1 + x^{2}) (1^{2} - x^{2})}{x^{8}} + 1)}$

解题步骤 3.9.5.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = x$ 。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot (\frac{(1 + x^{2}) (1 + x) (1 - x)}{x^{8}} + 1)}$

解题步骤 3.10

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot (\frac{(1 + x^{2}) (1 + x) (1 - x)}{x^{8}} + \frac{x^{8}}{x^{8}})}$

解题步骤 3.11

在公分母上合并分子。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{(1 + x^{2}) (1 + x) (1 - x) + x^{8}}{x^{8}}}$

解题步骤 3.12

化简分子。

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解题步骤 3.12.1

使用 FOIL 方法展开 $(1 + x^{2}) (1 + x)$ 。

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解题步骤 3.12.1.1

运用分配律。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{(1 (1 + x) + x^{2} (1 + x)) (1 - x) + x^{8}}{x^{8}}}$

解题步骤 3.12.1.2

运用分配律。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{(1 \cdot 1 + 1 x + x^{2} (1 + x)) (1 - x) + x^{8}}{x^{8}}}$

解题步骤 3.12.1.3

运用分配律。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{(1 \cdot 1 + 1 x + x^{2} \cdot 1 + x^{2} x) (1 - x) + x^{8}}{x^{8}}}$

解题步骤 3.12.2

化简每一项。

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解题步骤 3.12.2.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{(1 + 1 x + x^{2} \cdot 1 + x^{2} x) (1 - x) + x^{8}}{x^{8}}}$

解题步骤 3.12.2.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{(1 + x + x^{2} \cdot 1 + x^{2} x) (1 - x) + x^{8}}{x^{8}}}$

解题步骤 3.12.2.3

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{(1 + x + x^{2} + x^{2} x) (1 - x) + x^{8}}{x^{8}}}$

解题步骤 3.12.2.4

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.12.2.4.1

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.12.2.4.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{(1 + x + x^{2} + x^{2} x) (1 - x) + x^{8}}{x^{8}}}$

解题步骤 3.12.2.4.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{(1 + x + x^{2} + x^{2 + 1}) (1 - x) + x^{8}}{x^{8}}}$

解题步骤 3.12.2.4.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{(1 + x + x^{2} + x^{3}) (1 - x) + x^{8}}{x^{8}}}$

解题步骤 3.12.3

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(1 + x + x^{2} + x^{3}) (1 - x)$ 。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) + x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- x) + x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- x) + x^{8}}{x^{8}}}$

解题步骤 3.12.4

化简每一项。

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解题步骤 3.12.4.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) + x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- x) + x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- x) + x^{8}}{x^{8}}}$

解题步骤 3.12.4.2

将 $- x$ 乘以 $1$ 。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 - x + x \cdot 1 + x (- x) + x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- x) + x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- x) + x^{8}}{x^{8}}}$

解题步骤 3.12.4.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 - x + x + x (- x) + x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- x) + x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- x) + x^{8}}{x^{8}}}$

解题步骤 3.12.4.4

使用乘法的交换性质重写。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 - x + x - x \cdot x + x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- x) + x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- x) + x^{8}}{x^{8}}}$

解题步骤 3.12.4.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.12.4.5.1

移动 $x$ 。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 - x + x - (x \cdot x) + x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- x) + x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- x) + x^{8}}{x^{8}}}$

解题步骤 3.12.4.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 - x + x - x^{2} + x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- x) + x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- x) + x^{8}}{x^{8}}}$

解题步骤 3.12.4.6

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 - x + x - x^{2} + x^{2} + x^{2} (- x) + x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- x) + x^{8}}{x^{8}}}$

解题步骤 3.12.4.7

使用乘法的交换性质重写。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 - x + x - x^{2} + x^{2} - x^{2} x + x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- x) + x^{8}}{x^{8}}}$

解题步骤 3.12.4.8

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.12.4.8.1

移动 $x$ 。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 - x + x - x^{2} + x^{2} - (x \cdot x^{2}) + x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- x) + x^{8}}{x^{8}}}$

解题步骤 3.12.4.8.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.12.4.8.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 - x + x - x^{2} + x^{2} - (x \cdot x^{2}) + x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- x) + x^{8}}{x^{8}}}$

解题步骤 3.12.4.8.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 - x + x - x^{2} + x^{2} - x^{1 + 2} + x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- x) + x^{8}}{x^{8}}}$

解题步骤 3.12.4.8.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 - x + x - x^{2} + x^{2} - x^{3} + x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- x) + x^{8}}{x^{8}}}$

解题步骤 3.12.4.9

将 $x^{3}$ 乘以 $1$ 。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 - x + x - x^{2} + x^{2} - x^{3} + x^{3} + x^{3} (- x) + x^{8}}{x^{8}}}$

解题步骤 3.12.4.10

使用乘法的交换性质重写。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 - x + x - x^{2} + x^{2} - x^{3} + x^{3} - x^{3} x + x^{8}}{x^{8}}}$

解题步骤 3.12.4.11

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.12.4.11.1

移动 $x$ 。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 - x + x - x^{2} + x^{2} - x^{3} + x^{3} - (x \cdot x^{3}) + x^{8}}{x^{8}}}$

解题步骤 3.12.4.11.2

将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 3.12.4.11.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 - x + x - x^{2} + x^{2} - x^{3} + x^{3} - (x \cdot x^{3}) + x^{8}}{x^{8}}}$

解题步骤 3.12.4.11.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 - x + x - x^{2} + x^{2} - x^{3} + x^{3} - x^{1 + 3} + x^{8}}{x^{8}}}$

解题步骤 3.12.4.11.3

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 - x + x - x^{2} + x^{2} - x^{3} + x^{3} - x^{4} + x^{8}}{x^{8}}}$

解题步骤 3.12.5

合并 $1 - x + x - x^{2} + x^{2} - x^{3} + x^{3} - x^{4}$ 中相反的项。

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解题步骤 3.12.5.1

将 $- x$ 和 $x$ 相加。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 + 0 - x^{2} + x^{2} - x^{3} + x^{3} - x^{4} + x^{8}}{x^{8}}}$

解题步骤 3.12.5.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 - x^{2} + x^{2} - x^{3} + x^{3} - x^{4} + x^{8}}{x^{8}}}$

解题步骤 3.12.5.3

将 $- x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 + 0 - x^{3} + x^{3} - x^{4} + x^{8}}{x^{8}}}$

解题步骤 3.12.5.4

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 - x^{3} + x^{3} - x^{4} + x^{8}}{x^{8}}}$

解题步骤 3.12.5.5

将 $- x^{3}$ 和 $x^{3}$ 相加。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 + 0 - x^{4} + x^{8}}{x^{8}}}$

解题步骤 3.12.5.6

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{1 + x^{4}}{x^{4}} \cdot \frac{1 - x^{4} + x^{8}}{x^{8}}}$

解题步骤 4

将 $\frac{1 + x^{4}}{x^{4}}$ 乘以 $\frac{1 - x^{4} + x^{8}}{x^{8}}$ 。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{(1 + x^{4}) (1 - x^{4} + x^{8})}{x^{4} x^{8}}}$

解题步骤 5

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x^{8}$ 。

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解题步骤 5.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{(1 + x^{4}) (1 - x^{4} + x^{8})}{x^{4 + 8}}}$

解题步骤 5.2

将 $4$ 和 $8$ 相加。

$f (x^{- 6}) = \frac{1}{\frac{(1 + x^{4}) (1 - x^{4} + x^{8})}{x^{12}}}$

解题步骤 6

将分子乘以分母的倒数。

$f (x^{- 6}) = 1 (\frac{x^{12}}{(1 + x^{4}) (1 - x^{4} + x^{8})})$

解题步骤 7

将 $\frac{x^{12}}{(1 + x^{4}) (1 - x^{4} + x^{8})}$ 乘以 $1$ 。

$f (x^{- 6}) = \frac{x^{12}}{(1 + x^{4}) (1 - x^{4} + x^{8})}$

代数 示例

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