代数示例

$y = (3 - 2 x - x^{2}) e^{x}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ((3 - 2 x - x^{2}) e^{x})$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = 3 - 2 x - x^{2}$ 且 $g (x) = e^{x}$ 。

$(3 - 2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [3 - 2 x - x^{2}]$

解题步骤 3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$(3 - 2 x - x^{2}) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [3 - 2 x - x^{2}]$

解题步骤 3.3

求微分。

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解题步骤 3.3.1

根据加法法则， $3 - 2 x - x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

$(3 - 2 x - x^{2}) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

解题步骤 3.3.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(3 - 2 x - x^{2}) e^{x} + e^{x} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

解题步骤 3.3.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ 相加。

$(3 - 2 x - x^{2}) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

解题步骤 3.3.4

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(3 - 2 x - x^{2}) e^{x} + e^{x} (- 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

解题步骤 3.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(3 - 2 x - x^{2}) e^{x} + e^{x} (- 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

解题步骤 3.3.6

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$(3 - 2 x - x^{2}) e^{x} + e^{x} (- 2 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

解题步骤 3.3.7

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$(3 - 2 x - x^{2}) e^{x} + e^{x} (- 2 - \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3.3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$(3 - 2 x - x^{2}) e^{x} + e^{x} (- 2 - (2 x))$

解题步骤 3.3.9

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$(3 - 2 x - x^{2}) e^{x} + e^{x} (- 2 - 2 x)$

解题步骤 3.4

化简。

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解题步骤 3.4.1

运用分配律。

$3 e^{x} - 2 x e^{x} - x^{2} e^{x} + e^{x} (- 2 - 2 x)$

解题步骤 3.4.2

运用分配律。

$3 e^{x} - 2 x e^{x} - x^{2} e^{x} + e^{x} \cdot - 2 + e^{x} (- 2 x)$

解题步骤 3.4.3

合并项。

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解题步骤 3.4.3.1

将 $- 2$ 移到 $e^{x}$ 的左侧。

$3 e^{x} - 2 x e^{x} - x^{2} e^{x} - 2 \cdot e^{x} + e^{x} (- 2 x)$

解题步骤 3.4.3.2

从 $3 e^{x}$ 中减去 $2 e^{x}$ 。

$- 2 x e^{x} - x^{2} e^{x} + e^{x} + e^{x} (- 2 x)$

解题步骤 3.4.3.3

将 $- 2 x e^{x}$ 和 $e^{x} (- 2 x)$ 相加。

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解题步骤 3.4.3.3.1

移动 $e^{x}$ 。

$- 2 x e^{x} - 2 x e^{x} - x^{2} e^{x} + e^{x}$

解题步骤 3.4.3.3.2

从 $- 2 x e^{x}$ 中减去 $2 x e^{x}$ 。

$- 4 x e^{x} - x^{2} e^{x} + e^{x}$

解题步骤 3.4.4

重新排序项。

$- 4 e^{x} x - e^{x} x^{2} + e^{x}$

解题步骤 3.4.5

将 $- 4 e^{x} x - e^{x} x^{2} + e^{x}$ 中的因式重新排序。

$- 4 x e^{x} - x^{2} e^{x} + e^{x}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = - 4 x e^{x} - x^{2} e^{x} + e^{x}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - 4 x e^{x} - x^{2} e^{x} + e^{x}$

代数 示例

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