代数示例

$\frac{\sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}}}{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ 等于 $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ ，其中 $f (y) = \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}}$ 且 $g (y) = \sqrt{4 x^{4} y^{8}}$ 。

$\frac{\sqrt{4 x^{4} y^{8}} \frac{d}{d y} [\sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}}] - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} \frac{d}{d y} [\sqrt{4 x^{4} y^{8}}]}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

解题步骤 2

将 $\frac{d}{d y} [\sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}}]$ 重写为 $\frac{d}{d y} [2 x^{2} y^{4}]$ 。

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解题步骤 2.1

将 $8 x^{6} y^{12}$ 重写为 ${(2 x^{2} y^{4})}^{3}$ 。

$\frac{\sqrt{4 x^{4} y^{8}} \frac{d}{d y} [\sqrt[3]{{(2 x^{2} y^{4})}^{3}}] - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} \frac{d}{d y} [\sqrt{4 x^{4} y^{8}}]}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

解题步骤 2.2

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$\frac{\sqrt{4 x^{4} y^{8}} \frac{d}{d y} [2 x^{2} y^{4}] - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} \frac{d}{d y} [\sqrt{4 x^{4} y^{8}}]}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

解题步骤 3

因为 $2 x^{2}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $2 x^{2} y^{4}$ 对 $y$ 的导数是 $2 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{4}]$ 。

$\frac{\sqrt{4 x^{4} y^{8}} (2 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{4}]) - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} \frac{d}{d y} [\sqrt{4 x^{4} y^{8}}]}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

解题步骤 4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$\frac{\sqrt{4 x^{4} y^{8}} (2 x^{2} (4 y^{3})) - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} \frac{d}{d y} [\sqrt{4 x^{4} y^{8}}]}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

解题步骤 5

化简表达式。

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解题步骤 5.1

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\sqrt{4 x^{4} y^{8}} (8 x^{2} y^{3}) - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} \frac{d}{d y} [\sqrt{4 x^{4} y^{8}}]}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

解题步骤 5.2

重新排序 $8 x^{2} y^{3}$ 的因式。

$\frac{\sqrt{4 x^{4} y^{8}} (8 y^{3} x^{2}) - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} \frac{d}{d y} [\sqrt{4 x^{4} y^{8}}]}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

解题步骤 6

将 $\frac{d}{d y} [\sqrt{4 x^{4} y^{8}}]$ 重写为 $\frac{d}{d y} [2 x^{2} y^{4}]$ 。

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解题步骤 6.1

将 $4 x^{4} y^{8}$ 重写为 ${(2 x^{2} y^{4})}^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{4 x^{4} y^{8}} (8 y^{3} x^{2}) - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} \frac{d}{d y} [\sqrt{{(2 x^{2} y^{4})}^{2}}]}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

解题步骤 6.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{\sqrt{4 x^{4} y^{8}} (8 y^{3} x^{2}) - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} \frac{d}{d y} [2 x^{2} y^{4}]}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

解题步骤 7

因为 $2 x^{2}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $2 x^{2} y^{4}$ 对 $y$ 的导数是 $2 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{4}]$ 。

$\frac{\sqrt{4 x^{4} y^{8}} (8 y^{3} x^{2}) - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} (2 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{4}])}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

解题步骤 8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$\frac{\sqrt{4 x^{4} y^{8}} (8 y^{3} x^{2}) - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} (2 x^{2} (4 y^{3}))}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

解题步骤 9

化简表达式。

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解题步骤 9.1

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\sqrt{4 x^{4} y^{8}} (8 y^{3} x^{2}) - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} (8 x^{2} y^{3})}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

解题步骤 9.2

重新排序 $8 x^{2} y^{3}$ 的因式。

$\frac{\sqrt{4 x^{4} y^{8}} (8 y^{3} x^{2}) - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} (8 y^{3} x^{2})}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

化简分子。

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解题步骤 10.1.1

化简每一项。

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解题步骤 10.1.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{8 \sqrt{4 x^{4} y^{8}} (y^{3} x^{2}) - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} (8 y^{3} x^{2})}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

解题步骤 10.1.1.2

将 $4 x^{4} y^{8}$ 重写为 ${(2 x^{2} y^{4})}^{2}$ 。

$\frac{8 \sqrt{{(2 x^{2} y^{4})}^{2}} (y^{3} x^{2}) - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} (8 y^{3} x^{2})}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

解题步骤 10.1.1.3

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{8 (2 x^{2} y^{4}) (y^{3} x^{2}) - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} (8 y^{3} x^{2})}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

解题步骤 10.1.1.4

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 10.1.1.4.1

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{8 (2 (x^{2} x^{2}) y^{4}) y^{3} - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} (8 y^{3} x^{2})}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

解题步骤 10.1.1.4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{8 (2 x^{2 + 2} y^{4}) y^{3} - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} (8 y^{3} x^{2})}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

解题步骤 10.1.1.4.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{8 (2 x^{4} y^{4}) y^{3} - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} (8 y^{3} x^{2})}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

解题步骤 10.1.1.5

通过指数相加将 $y^{4}$ 乘以 $y^{3}$ 。

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解题步骤 10.1.1.5.1

移动 $y^{3}$ 。

$\frac{8 (2 x^{4} (y^{3} y^{4})) - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} (8 y^{3} x^{2})}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

解题步骤 10.1.1.5.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{8 (2 x^{4} y^{3 + 4}) - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} (8 y^{3} x^{2})}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

解题步骤 10.1.1.5.3

将 $3$ 和 $4$ 相加。

$\frac{8 (2 x^{4} y^{7}) - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} (8 y^{3} x^{2})}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

解题步骤 10.1.1.6

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$\frac{16 (x^{4} y^{7}) - \sqrt[3]{8 x^{6} y^{12}} (8 y^{3} x^{2})}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

解题步骤 10.1.1.7

将 $8 x^{6} y^{12}$ 重写为 ${(2 x^{2} y^{4})}^{3}$ 。

$\frac{16 x^{4} y^{7} - \sqrt[3]{{(2 x^{2} y^{4})}^{3}} (8 y^{3} x^{2})}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

解题步骤 10.1.1.8

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$\frac{16 x^{4} y^{7} - (2 x^{2} y^{4}) (8 y^{3} x^{2})}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

解题步骤 10.1.1.9

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 10.1.1.9.1

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{16 x^{4} y^{7} - (2 (x^{2} x^{2}) y^{4}) (8 y^{3})}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

解题步骤 10.1.1.9.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{16 x^{4} y^{7} - (2 x^{2 + 2} y^{4}) (8 y^{3})}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

解题步骤 10.1.1.9.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{16 x^{4} y^{7} - (2 x^{4} y^{4}) (8 y^{3})}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

解题步骤 10.1.1.10

通过指数相加将 $y^{4}$ 乘以 $y^{3}$ 。

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解题步骤 10.1.1.10.1

移动 $y^{3}$ 。

$\frac{16 x^{4} y^{7} - (2 x^{4} (y^{3} y^{4})) \cdot 8}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

解题步骤 10.1.1.10.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{16 x^{4} y^{7} - (2 x^{4} y^{3 + 4}) \cdot 8}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

解题步骤 10.1.1.10.3

将 $3$ 和 $4$ 相加。

$\frac{16 x^{4} y^{7} - (2 x^{4} y^{7}) \cdot 8}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

解题步骤 10.1.1.11

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{16 x^{4} y^{7} - 2 (x^{4} y^{7}) \cdot 8}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

解题步骤 10.1.1.12

将 $8$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{16 x^{4} y^{7} - 16 x^{4} y^{7}}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

解题步骤 10.1.2

从 $16 x^{4} y^{7}$ 中减去 $16 x^{4} y^{7}$ 。

$\frac{0}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$

解题步骤 10.2

合并项。

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解题步骤 10.2.1

将 $\frac{0}{{\sqrt{4 x^{4} y^{8}}}^{2}}$ 重写为 $\frac{0}{{(2 x^{2} y^{4})}^{2}}$ 。

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解题步骤 10.2.1.1

将 $4 x^{4} y^{8}$ 重写为 ${(2 x^{2} y^{4})}^{2}$ 。

$\frac{0}{{\sqrt{{(2 x^{2} y^{4})}^{2}}}^{2}}$

解题步骤 10.2.1.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{0}{{(2 x^{2} y^{4})}^{2}}$

解题步骤 10.2.2

从 $2 x^{2} y^{4}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{0}{{(2 (x^{2} y^{4}))}^{2}}$

解题步骤 10.2.3

对 $2 (x^{2} y^{4})$ 运用乘积法则。

$\frac{0}{2^{2} {(x^{2} y^{4})}^{2}}$

解题步骤 10.2.4

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{0}{4 {(x^{2} y^{4})}^{2}}$

解题步骤 10.2.5

约去 $0$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.5.1

从 $0$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (0)}{4 {(x^{2} y^{4})}^{2}}$

解题步骤 10.2.5.2

约去公因数。

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解题步骤 10.2.5.2.1

从 $4 {(x^{2} y^{4})}^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (0)}{4 ({(x^{2} y^{4})}^{2})}$

解题步骤 10.2.5.2.2

约去公因数。

$\frac{4 \cdot 0}{4 {(x^{2} y^{4})}^{2}}$

解题步骤 10.2.5.2.3

重写表达式。

$\frac{0}{{(x^{2} y^{4})}^{2}}$

解题步骤 10.3

重新排序项。

$\frac{0}{{(y^{4} x^{2})}^{2}}$

解题步骤 10.4

化简分母。

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解题步骤 10.4.1

对 $y^{4} x^{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{0}{{(y^{4})}^{2} {(x^{2})}^{2}}$

解题步骤 10.4.2

将 ${(y^{4})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 10.4.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{0}{y^{4 \cdot 2} {(x^{2})}^{2}}$

解题步骤 10.4.2.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{0}{y^{8} {(x^{2})}^{2}}$

解题步骤 10.4.3

将 ${(x^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 10.4.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{0}{y^{8} x^{2 \cdot 2}}$

解题步骤 10.4.3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{0}{y^{8} x^{4}}$

解题步骤 10.5

用 $0$ 除以 $y^{8} x^{4}$ 。

$0$

代数 示例

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