代数示例

$\sqrt{x^{2} - x + 1}$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x^{2} - x + 1}$ 重写成 ${(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x^{2} - x + 1$ 。

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解题步骤 1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} - x + 1$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

解题步骤 1.2.3

使用 $x^{2} - x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

解题步骤 1.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

解题步骤 1.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

解题步骤 1.5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

解题步骤 1.6

化简分子。

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解题步骤 1.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

解题步骤 1.6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

解题步骤 1.7

合并分数。

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解题步骤 1.7.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} {(x^{2} - x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

解题步骤 1.7.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x^{2} - x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(x^{2} - x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

解题步骤 1.7.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x^{2} - x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

解题步骤 1.8

根据加法法则， $x^{2} - x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 1.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 1.10

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 1.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 1.12

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 1 + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 1.13

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 1 + 0)$

解题步骤 1.14

将 $2 x - 1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 1)$

解题步骤 1.15

化简。

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解题步骤 1.15.1

重新排序 $\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 1)$ 的因式。

$(2 x - 1) \frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.15.2

将 $2 x - 1$ 乘以 $\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{2 x - 1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2 x - 1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 1}{{(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{2 x - 1}{{(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 2.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 2 x - 1$ 且 $g (x) = {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x - 1) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.3

将 ${({(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x - 1) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 2.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1

约去公因数。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x - 1) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 2.3.2.2

重写表达式。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x - 1) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - x + 1}$

解题步骤 2.4

化简。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x - 1) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - x + 1}$

解题步骤 2.5

求微分。

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解题步骤 2.5.1

根据加法法则， $2 x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1)) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - x + 1}$

解题步骤 2.5.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - x + 1}$

解题步骤 2.5.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1)) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - x + 1}$

解题步骤 2.5.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 + \frac{d}{d x} (- 1)) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - x + 1}$

解题步骤 2.5.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 + 0) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - x + 1}$

解题步骤 2.5.6

化简表达式。

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解题步骤 2.5.6.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - (2 x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - x + 1}$

解题步骤 2.5.6.2

将 $2$ 移到 ${(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 的左侧。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - x + 1}$

解题步骤 2.6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x^{2} - x + 1$ 。

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解题步骤 2.6.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} - x + 1$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

解题步骤 2.6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

解题步骤 2.6.3

使用 $x^{2} - x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

解题步骤 2.7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

解题步骤 2.8

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

解题步骤 2.9

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

解题步骤 2.10

化简分子。

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解题步骤 2.10.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

解题步骤 2.10.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

解题步骤 2.11

合并分数。

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解题步骤 2.11.1

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

解题步骤 2.11.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x^{2} - x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (\frac{{(x^{2} - x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

解题步骤 2.11.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x^{2} - x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

解题步骤 2.12

根据加法法则， $x^{2} - x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (1)))}{x^{2} - x + 1}$

解题步骤 2.13

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (1)))}{x^{2} - x + 1}$

解题步骤 2.14

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1)))}{x^{2} - x + 1}$

解题步骤 2.15

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)))}{x^{2} - x + 1}$

解题步骤 2.16

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 1 + \frac{d}{d x} (1)))}{x^{2} - x + 1}$

解题步骤 2.17

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 1 + 0))}{x^{2} - x + 1}$

解题步骤 2.18

将 $2 x - 1$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 1))}{x^{2} - x + 1}$

解题步骤 2.19

对 $2 x - 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (2 x - 1) \frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - x + 1}$

解题步骤 2.20

对 $2 x - 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (2 x - 1) \frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - x + 1}$

解题步骤 2.21

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - {(2 x - 1)}^{1 + 1} \frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - x + 1}$

解题步骤 2.22

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - {(2 x - 1)}^{2} \frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - x + 1}$

解题步骤 2.23

组合 $\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 ${(2 x - 1)}^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{{(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - x + 1}$

解题步骤 2.24

要将 $2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{{(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - x + 1}$

解题步骤 2.25

组合 $2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{{(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - x + 1}$

解题步骤 2.26

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}) - {(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - x + 1}$

解题步骤 2.27

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - {(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - x + 1}$

解题步骤 2.28

通过指数相加将 ${(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.28.1

移动 ${(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{4 ({(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}) - {(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - x + 1}$

解题步骤 2.28.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - {(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - x + 1}$

解题步骤 2.28.3

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} - {(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - x + 1}$

解题步骤 2.28.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{2}{2}} - {(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - x + 1}$

解题步骤 2.28.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{4 (x^{2} - x + 1) - {(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - x + 1}$

解题步骤 2.29

化简 $4 {(x^{2} - x + 1)}^{1}$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{4 (x^{2} - x + 1) - {(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - x + 1}$

解题步骤 2.30

将 $\frac{\frac{4 (x^{2} - x + 1) - {(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - x + 1}$ 重写为乘积形式。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{4 (x^{2} - x + 1) - {(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} - x + 1})$

解题步骤 2.31

将 $\frac{4 (x^{2} - x + 1) - {(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{x^{2} - x + 1}$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4 (x^{2} - x + 1) - {(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} - x + 1)}$

解题步骤 2.32

对 $x^{2} - x + 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4 (x^{2} - x + 1) - {(2 x - 1)}^{2}}{2 ((x^{2} - x + 1) {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 2.33

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4 (x^{2} - x + 1) - {(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.34

化简表达式。

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解题步骤 2.34.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4 (x^{2} - x + 1) - {(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.34.2

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4 (x^{2} - x + 1) - {(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

解题步骤 2.34.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4 (x^{2} - x + 1) - {(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.35

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{4 (x^{2} - x + 1) - {(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ 。

$f'' (x) = \frac{4 (x^{2} - x + 1) - {(2 x - 1)}^{2}}{2 (2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}})}$

解题步骤 2.36

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{4 (x^{2} - x + 1) - {(2 x - 1)}^{2}}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.37

化简。

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解题步骤 2.37.1

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} + 4 (- x) + 4 \cdot 1 - {(2 x - 1)}^{2}}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.37.2

化简分子。

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解题步骤 2.37.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.37.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 4 x + 4 \cdot 1 - {(2 x - 1)}^{2}}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.37.2.1.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 4 x + 4 - {(2 x - 1)}^{2}}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.37.2.1.3

将 ${(2 x - 1)}^{2}$ 重写为 $(2 x - 1) (2 x - 1)$ 。

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 4 x + 4 - ((2 x - 1) (2 x - 1))}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.37.2.1.4

使用 FOIL 方法展开 $(2 x - 1) (2 x - 1)$ 。

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解题步骤 2.37.2.1.4.1

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 4 x + 4 - (2 x (2 x - 1) - 1 (2 x - 1))}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.37.2.1.4.2

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 4 x + 4 - (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x - 1))}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.37.2.1.4.3

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 4 x + 4 - (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1)}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.37.2.1.5

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.37.2.1.5.1

化简每一项。

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解题步骤 2.37.2.1.5.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 4 x + 4 - (2 \cdot (2 x \cdot x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1)}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.37.2.1.5.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.37.2.1.5.1.2.1

移动 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 4 x + 4 - (2 \cdot (2 (x \cdot x)) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1)}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.37.2.1.5.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 4 x + 4 - (2 \cdot (2 x^{2}) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1)}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.37.2.1.5.1.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 4 x + 4 - (4 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1)}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.37.2.1.5.1.4

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 4 x + 4 - (4 x^{2} - 2 x - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1)}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.37.2.1.5.1.5

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 4 x + 4 - (4 x^{2} - 2 x - 2 x - 1 \cdot - 1)}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.37.2.1.5.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 4 x + 4 - (4 x^{2} - 2 x - 2 x + 1)}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.37.2.1.5.2

从 $- 2 x$ 中减去 $2 x$ 。

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 4 x + 4 - (4 x^{2} - 4 x + 1)}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.37.2.1.6

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 4 x + 4 - (4 x^{2}) - (- 4 x) - 1 \cdot 1}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.37.2.1.7

化简。

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解题步骤 2.37.2.1.7.1

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 4 x + 4 - 4 x^{2} - (- 4 x) - 1 \cdot 1}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.37.2.1.7.2

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 4 x + 4 - 4 x^{2} + 4 x - 1 \cdot 1}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.37.2.1.7.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 4 x + 4 - 4 x^{2} + 4 x - 1}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.37.2.2

合并 $4 x^{2} - 4 x + 4 - 4 x^{2} + 4 x - 1$ 中相反的项。

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解题步骤 2.37.2.2.1

从 $4 x^{2}$ 中减去 $4 x^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{- 4 x + 4 + 0 + 4 x - 1}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.37.2.2.2

将 $- 4 x + 4$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{- 4 x + 4 + 4 x - 1}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.37.2.2.3

将 $- 4 x$ 和 $4 x$ 相加。

$f'' (x) = \frac{0 + 4 - 1}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.37.2.2.4

将 $0$ 和 $4$ 相加。

$f'' (x) = \frac{4 - 1}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.37.2.3

从 $4$ 中减去 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{3}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$\frac{2 x - 1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x^{2} - x + 1}$ 重写成 ${(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x^{2} - x + 1$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} - x + 1$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

解题步骤 4.1.2.3

使用 $x^{2} - x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

解题步骤 4.1.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

解题步骤 4.1.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

解题步骤 4.1.5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

解题步骤 4.1.6

化简分子。

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解题步骤 4.1.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

解题步骤 4.1.6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

解题步骤 4.1.7

合并分数。

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解题步骤 4.1.7.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} {(x^{2} - x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

解题步骤 4.1.7.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x^{2} - x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(x^{2} - x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

解题步骤 4.1.7.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x^{2} - x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

解题步骤 4.1.8

根据加法法则， $x^{2} - x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 4.1.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 4.1.10

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 4.1.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 4.1.12

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 1 + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 4.1.13

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 1 + 0)$

解题步骤 4.1.14

将 $2 x - 1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 1)$

解题步骤 4.1.15

化简。

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解题步骤 4.1.15.1

重新排序 $\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 1)$ 的因式。

$(2 x - 1) \frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.1.15.2

将 $2 x - 1$ 乘以 $\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$f' (x) = \frac{2 x - 1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{2 x - 1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{2 x - 1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{2 x - 1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{2 x - 1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 5.2

将分子设为等于零。

$2 x - 1 = 0$

解题步骤 5.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 5.3.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$2 x = 1$

解题步骤 5.3.2

将 $2 x = 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 5.3.2.1

将 $2 x = 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 5.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 5.3.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{1}{2}$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = \frac{1}{2}$

解题步骤 8

计算在 $x = \frac{1}{2}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$\frac{3}{4 {({(\frac{1}{2})}^{2} - (\frac{1}{2}) + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

化简分母。

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解题步骤 9.1.1

求公分母。

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解题步骤 9.1.1.1

将 ${(\frac{1}{2})}^{2}$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$\frac{3}{4 {(\frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{1} - \frac{1}{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9.1.1.2

将 $\frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3}{4 {(\frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9.1.1.3

将 $\frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3}{4 {(\frac{{(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9.1.1.4

将 $1$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$\frac{3}{4 {(\frac{{(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{1})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9.1.1.5

将 $\frac{1}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3}{4 {(\frac{{(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{1} \cdot \frac{2}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9.1.1.6

将 $\frac{1}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3}{4 {(\frac{{(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{2}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9.1.2

在公分母上合并分子。

$\frac{3}{4 {(\frac{{(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 2 - 1 + 2}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9.1.3

化简每一项。

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解题步骤 9.1.3.1

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{3}{4 {(\frac{\frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot 2 - 1 + 2}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9.1.3.2

一的任意次幂都为一。

$\frac{3}{4 {(\frac{\frac{1}{2^{2}} \cdot 2 - 1 + 2}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9.1.3.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{3}{4 {(\frac{\frac{1}{4} \cdot 2 - 1 + 2}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9.1.3.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.3.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{3}{4 {(\frac{\frac{1}{2 (2)} \cdot 2 - 1 + 2}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9.1.3.4.2

约去公因数。

$\frac{3}{4 {(\frac{\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2 - 1 + 2}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9.1.3.4.3

重写表达式。

$\frac{3}{4 {(\frac{\frac{1}{2} - 1 + 2}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9.1.4

求公分母。

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解题步骤 9.1.4.1

将 $- 1$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$\frac{3}{4 {(\frac{\frac{1}{2} + \frac{- 1}{1} + 2}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9.1.4.2

将 $\frac{- 1}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3}{4 {(\frac{\frac{1}{2} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{2}{2} + 2}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9.1.4.3

将 $\frac{- 1}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3}{4 {(\frac{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2} + 2}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9.1.4.4

将 $2$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$\frac{3}{4 {(\frac{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{2}{1}}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9.1.4.5

将 $\frac{2}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3}{4 {(\frac{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{2}}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9.1.4.6

将 $\frac{2}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3}{4 {(\frac{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9.1.5

在公分母上合并分子。

$\frac{3}{4 {(\frac{\frac{1 - 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2}{2}}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9.1.6

化简每一项。

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解题步骤 9.1.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3}{4 {(\frac{\frac{1 - 2 + 2 \cdot 2}{2}}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9.1.6.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3}{4 {(\frac{\frac{1 - 2 + 4}{2}}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9.1.7

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{3}{4 {(\frac{\frac{- 1 + 4}{2}}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9.1.8

将 $- 1$ 和 $4$ 相加。

$\frac{3}{4 {(\frac{\frac{3}{2}}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9.1.9

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{3}{4 {(\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9.1.10

乘以 $\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 9.1.10.1

将 $\frac{3}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{3}{4 {(\frac{3}{2 \cdot 2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9.1.10.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3}{4 {(\frac{3}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9.1.11

对 $\frac{3}{4}$ 运用乘积法则。

$\frac{3}{4 \frac{3^{\frac{3}{2}}}{4^{\frac{3}{2}}}}$

解题步骤 9.1.12

化简分母。

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解题步骤 9.1.12.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{3}{4 \frac{3^{\frac{3}{2}}}{{(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}}$

解题步骤 9.1.12.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{3}{4 \frac{3^{\frac{3}{2}}}{2^{2 (\frac{3}{2})}}}$

解题步骤 9.1.12.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.12.3.1

约去公因数。

$\frac{3}{4 \frac{3^{\frac{3}{2}}}{2^{2 (\frac{3}{2})}}}$

解题步骤 9.1.12.3.2

重写表达式。

$\frac{3}{4 \frac{3^{\frac{3}{2}}}{2^{3}}}$

解题步骤 9.1.12.4

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{3}{4 \frac{3^{\frac{3}{2}}}{8}}$

解题步骤 9.2

化简项。

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解题步骤 9.2.1

组合 $4$ 和 $\frac{3^{\frac{3}{2}}}{8}$ 。

$\frac{3}{\frac{4 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{8}}$

解题步骤 9.2.2

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{4 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{8}$ 。

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解题步骤 9.2.2.1

从 $4 \cdot 3^{\frac{3}{2}}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{3}{\frac{4 (3^{\frac{3}{2}})}{8}}$

解题步骤 9.2.2.2

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{3}{\frac{4 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{4 \cdot 2}}$

解题步骤 9.2.2.3

约去公因数。

$\frac{3}{\frac{4 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{4 \cdot 2}}$

解题步骤 9.2.2.4

重写表达式。

$\frac{3}{\frac{3^{\frac{3}{2}}}{2}}$

解题步骤 9.3

将分子乘以分母的倒数。

$3 \frac{2}{3^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9.4

乘以 $3 \frac{2}{3^{\frac{3}{2}}}$ 。

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解题步骤 9.4.1

组合 $3$ 和 $\frac{2}{3^{\frac{3}{2}}}$ 。

$\frac{3 \cdot 2}{3^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9.4.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{6}{3^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = \frac{1}{2}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{1}{2}$ 是一个极小值

解题步骤 11

求 $x = \frac{1}{2}$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $\frac{1}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{1}{2}) = \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} - (\frac{1}{2}) + 1}$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{1^{2}}{2^{2}} - (\frac{1}{2}) + 1}$

解题步骤 11.2.2

一的任意次幂都为一。

$f (\frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{1}{2^{2}} - (\frac{1}{2}) + 1}$

解题步骤 11.2.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{1}{4} - (\frac{1}{2}) + 1}$

解题步骤 11.2.4

要将 $- \frac{1}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{1}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} + 1}$

解题步骤 11.2.5

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $4$ 的形式。

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解题步骤 11.2.5.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2} + 1}$

解题步骤 11.2.5.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{1}{4} - \frac{2}{4} + 1}$

解题步骤 11.2.6

在公分母上合并分子。

$f (\frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{1 - 2}{4} + 1}$

解题步骤 11.2.7

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$f (\frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{- 1}{4} + 1}$

解题步骤 11.2.8

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f (\frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{- 1}{4} + \frac{4}{4}}$

解题步骤 11.2.9

在公分母上合并分子。

$f (\frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{- 1 + 4}{4}}$

解题步骤 11.2.10

将 $- 1$ 和 $4$ 相加。

$f (\frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{3}{4}}$

解题步骤 11.2.11

将 $\sqrt{\frac{3}{4}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ 。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

解题步骤 11.2.12

化简分母。

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解题步骤 11.2.12.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

解题步骤 11.2.12.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 11.2.13

最终答案为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$y = \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 12

这些是 $f (x) = \sqrt{x^{2} - x + 1}$ 的局部极值。

$(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ 是一个局部最小值

解题步骤 13

代数 示例

代数示例