代数示例

$x^{4} - x^{3} - 15 x^{2} + 9 x + 54 = 0$

解题步骤 1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 1.1

重新组合项。

$- x^{3} + 9 x + x^{4} - 15 x^{2} + 54 = 0$

解题步骤 1.2

从 $- x^{3} + 9 x$ 中分解出因数 $- x$ 。

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解题步骤 1.2.1

从 $- x^{3}$ 中分解出因数 $- x$ 。

$- x \cdot x^{2} + 9 x + x^{4} - 15 x^{2} + 54 = 0$

解题步骤 1.2.2

从 $9 x$ 中分解出因数 $- x$ 。

$- x \cdot x^{2} - x \cdot - 9 + x^{4} - 15 x^{2} + 54 = 0$

解题步骤 1.2.3

从 $- x (x^{2}) - x (- 9)$ 中分解出因数 $- x$ 。

$- x (x^{2} - 9) + x^{4} - 15 x^{2} + 54 = 0$

解题步骤 1.3

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$- x (x^{2} - 3^{2}) + x^{4} - 15 x^{2} + 54 = 0$

解题步骤 1.4

因数。

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解题步骤 1.4.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 3$ 。

$- x ((x + 3) (x - 3)) + x^{4} - 15 x^{2} + 54 = 0$

解题步骤 1.4.2

去掉多余的括号。

$- x (x + 3) (x - 3) + x^{4} - 15 x^{2} + 54 = 0$

解题步骤 1.5

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$- x (x + 3) (x - 3) + {(x^{2})}^{2} - 15 x^{2} + 54 = 0$

解题步骤 1.6

使 $u = x^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{2}$ 。

$- x (x + 3) (x - 3) + u^{2} - 15 u + 54 = 0$

解题步骤 1.7

使用 AC 法来对 $u^{2} - 15 u + 54$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.7.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $54$ ，和为 $- 15$ 。

$- 9, - 6$

解题步骤 1.7.2

使用这些整数书写分数形式。

$- x (x + 3) (x - 3) + (u - 9) (u - 6) = 0$

解题步骤 1.8

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 9) (x^{2} - 6) = 0$

解题步骤 1.9

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$- x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 3^{2}) (x^{2} - 6) = 0$

解题步骤 1.10

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 3$ 。

$- x (x + 3) (x - 3) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 6) = 0$

解题步骤 1.11

从 $- x (x + 3) (x - 3) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 6)$ 中分解出因数 $(x + 3) (x - 3)$ 。

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解题步骤 1.11.1

从 $- x (x + 3) (x - 3)$ 中分解出因数 $(x + 3) (x - 3)$ 。

$(x + 3) (x - 3) (- x) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 6) = 0$

解题步骤 1.11.2

从 $(x + 3) (x - 3) (- x) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 6)$ 中分解出因数 $(x + 3) (x - 3)$ 。

$(x + 3) (x - 3) (- x + x^{2} - 6) = 0$

解题步骤 1.12

使 $u = x$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x$ 。

$(x + 3) (x - 3) (- u + u^{2} - 6) = 0$

解题步骤 1.13

使用 AC 法来对 $- u + u^{2} - 6$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.13.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 6$ ，和为 $- 1$ 。

$- 3, 2$

解题步骤 1.13.2

使用这些整数书写分数形式。

$(x + 3) (x - 3) ((u - 3) (u + 2)) = 0$

解题步骤 1.14

因数。

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解题步骤 1.14.1

使用 $x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(x + 3) (x - 3) ((x - 3) (x + 2)) = 0$

解题步骤 1.14.2

去掉多余的括号。

$(x + 3) (x - 3) (x - 3) (x + 2) = 0$

解题步骤 1.15

合并指数。

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解题步骤 1.15.1

对 $x - 3$ 进行 $1$ 次方运算。

$(x + 3) ((x - 3) (x - 3)) (x + 2) = 0$

解题步骤 1.15.2

对 $x - 3$ 进行 $1$ 次方运算。

$(x + 3) ((x - 3) (x - 3)) (x + 2) = 0$

解题步骤 1.15.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(x + 3) {(x - 3)}^{1 + 1} (x + 2) = 0$

解题步骤 1.15.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$(x + 3) {(x - 3)}^{2} (x + 2) = 0$

解题步骤 2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x + 3 = 0$

${(x - 3)}^{2} = 0$

$x + 2 = 0$

解题步骤 3

将 $x + 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

将 $x + 3$ 设为等于 $0$ 。

$x + 3 = 0$

解题步骤 3.2

从等式两边同时减去 $3$ 。

$x = - 3$

解题步骤 4

将 ${(x - 3)}^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将 ${(x - 3)}^{2}$ 设为等于 $0$ 。

${(x - 3)}^{2} = 0$

解题步骤 4.2

求解 $x$ 的 ${(x - 3)}^{2} = 0$ 。

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解题步骤 4.2.1

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 。

$x - 3 = 0$

解题步骤 4.2.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$x = 3$

解题步骤 5

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.1

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 。

$x + 2 = 0$

解题步骤 5.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x = - 2$

解题步骤 6

最终解为使 $(x + 3) {(x - 3)}^{2} (x + 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = - 3, 3, - 2$

解题步骤 7

代数 示例

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