代数示例

$f (x) = - 12 x^{3}$

解题步骤 1

将 $f (x) = - 12 x^{3}$ 写为等式。

$y = - 12 x^{3}$

解题步骤 2

交换变量。

$x = - 12 y^{3}$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $- 12 y^{3} = x$ 。

$- 12 y^{3} = x$

解题步骤 3.2

将 $- 12 y^{3} = x$ 中的每一项除以 $- 12$ 并化简。

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解题步骤 3.2.1

将 $- 12 y^{3} = x$ 中的每一项都除以 $- 12$ 。

$\frac{- 12 y^{3}}{- 12} = \frac{x}{- 12}$

解题步骤 3.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.2.1

约去 $- 12$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 12 y^{3}}{- 12} = \frac{x}{- 12}$

解题步骤 3.2.2.1.2

用 $y^{3}$ 除以 $1$ 。

$y^{3} = \frac{x}{- 12}$

解题步骤 3.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$y^{3} = - \frac{x}{12}$

解题步骤 3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[3]{- \frac{x}{12}}$

解题步骤 3.4

化简 $\sqrt[3]{- \frac{x}{12}}$ 。

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解题步骤 3.4.1

将 $- \frac{x}{12}$ 重写为 ${({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{x}{12}$ 。

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解题步骤 3.4.1.1

将 $- 1$ 重写为 ${(- 1)}^{3}$ 。

$y = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \frac{x}{12}}$

解题步骤 3.4.1.2

将 $- 1$ 重写为 ${(- 1)}^{3}$ 。

$y = \sqrt[3]{{({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{x}{12}}$

解题步骤 3.4.2

从根式下提出各项。

$y = {(- 1)}^{3} \sqrt[3]{\frac{x}{12}}$

解题步骤 3.4.3

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$y = - \sqrt[3]{\frac{x}{12}}$

解题步骤 3.4.4

将 $\sqrt[3]{\frac{x}{12}}$ 重写为 $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{12}}$ 。

$y = - \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{12}}$

解题步骤 3.4.5

将 $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{12}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{12}}^{2}}{{\sqrt[3]{12}}^{2}}$ 。

$y = - (\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{12}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{12}}^{2}}{{\sqrt[3]{12}}^{2}})$

解题步骤 3.4.6

合并和化简分母。

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解题步骤 3.4.6.1

将 $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{12}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{12}}^{2}}{{\sqrt[3]{12}}^{2}}$ 。

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{12}}^{2}}{\sqrt[3]{12} {\sqrt[3]{12}}^{2}}$

解题步骤 3.4.6.2

对 $\sqrt[3]{12}$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{12}}^{2}}{{\sqrt[3]{12}}^{1} {\sqrt[3]{12}}^{2}}$

解题步骤 3.4.6.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{12}}^{2}}{{\sqrt[3]{12}}^{1 + 2}}$

解题步骤 3.4.6.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{12}}^{2}}{{\sqrt[3]{12}}^{3}}$

解题步骤 3.4.6.5

将 ${\sqrt[3]{12}}^{3}$ 重写为 $12$ 。

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解题步骤 3.4.6.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{12}$ 重写成 $12^{\frac{1}{3}}$ 。

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{12}}^{2}}{{(12^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

解题步骤 3.4.6.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{12}}^{2}}{12^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

解题步骤 3.4.6.5.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{12}}^{2}}{12^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 3.4.6.5.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.6.5.4.1

约去公因数。

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{12}}^{2}}{12^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 3.4.6.5.4.2

重写表达式。

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{12}}^{2}}{12^{1}}$

解题步骤 3.4.6.5.5

计算指数。

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{12}}^{2}}{12}$

解题步骤 3.4.7

化简分子。

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解题步骤 3.4.7.1

将 ${\sqrt[3]{12}}^{2}$ 重写为 $\sqrt[3]{12^{2}}$ 。

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{12^{2}}}{12}$

解题步骤 3.4.7.2

对 $12$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{144}}{12}$

解题步骤 3.4.7.3

将 $144$ 重写为 $2^{3} \cdot 18$ 。

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解题步骤 3.4.7.3.1

从 $144$ 中分解出因数 $8$ 。

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{8 (18)}}{12}$

解题步骤 3.4.7.3.2

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{2^{3} \cdot 18}}{12}$

解题步骤 3.4.7.4

从根式下提出各项。

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} \cdot 2 \sqrt[3]{18}}{12}$

解题步骤 3.4.7.5

使用根数乘积法则进行合并。

$y = - \frac{2 \sqrt[3]{x \cdot 18}}{12}$

解题步骤 3.4.8

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 3.4.8.1

约去 $2$ 和 $12$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.8.1.1

从 $2 \sqrt[3]{x \cdot 18}$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = - \frac{2 (\sqrt[3]{x \cdot 18})}{12}$

解题步骤 3.4.8.1.2

约去公因数。

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解题步骤 3.4.8.1.2.1

从 $12$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = - \frac{2 \sqrt[3]{x \cdot 18}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 3.4.8.1.2.2

约去公因数。

$y = - \frac{2 \sqrt[3]{x \cdot 18}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 3.4.8.1.2.3

重写表达式。

$y = - \frac{\sqrt[3]{x \cdot 18}}{6}$

解题步骤 3.4.8.2

将 $- \frac{\sqrt[3]{x \cdot 18}}{6}$ 中的因式重新排序。

$y = - \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}$

解题步骤 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = - \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}$ 是否为 $f (x) = - 12 x^{3}$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (- 12 x^{3})$ 。

$f^{- 1} (- 12 x^{3}) = - \frac{\sqrt[3]{18 (- 12 x^{3})}}{6}$

解题步骤 5.2.3

化简分子。

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解题步骤 5.2.3.1

将 $- 12$ 乘以 $18$ 。

$f^{- 1} (- 12 x^{3}) = - \frac{\sqrt[3]{- 216 x^{3}}}{6}$

解题步骤 5.2.3.2

将 $- 216 x^{3}$ 重写为 ${(- 6 x)}^{3}$ 。

$f^{- 1} (- 12 x^{3}) = - \frac{\sqrt[3]{{(- 6 x)}^{3}}}{6}$

解题步骤 5.2.3.3

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$f^{- 1} (- 12 x^{3}) = - \frac{- 6 x}{6}$

解题步骤 5.2.4

约去 $- 6$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.4.1

从 $- 6 x$ 中分解出因数 $6$ 。

$f^{- 1} (- 12 x^{3}) = - \frac{6 (- x)}{6}$

解题步骤 5.2.4.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.4.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $6$ 。

$f^{- 1} (- 12 x^{3}) = - \frac{6 (- x)}{6 (1)}$

解题步骤 5.2.4.2.2

约去公因数。

$f^{- 1} (- 12 x^{3}) = - \frac{6 (- x)}{6 \cdot 1}$

解题步骤 5.2.4.2.3

重写表达式。

$f^{- 1} (- 12 x^{3}) = - \frac{- x}{1}$

解题步骤 5.2.4.2.4

用 $- x$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (- 12 x^{3}) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6})$ 。

$f (- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}) = - 12 {(- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6})}^{3}$

解题步骤 5.3.3

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 5.3.3.1

对 $- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}) = - 12 ({(- 1)}^{3} {(\frac{\sqrt[3]{18 x}}{6})}^{3})$

解题步骤 5.3.3.2

对 $\frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}) = - 12 ({(- 1)}^{3} (\frac{{\sqrt[3]{18 x}}^{3}}{6^{3}}))$

解题步骤 5.3.4

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}) = - 12 (- \frac{{\sqrt[3]{18 x}}^{3}}{6^{3}})$

解题步骤 5.3.5

将 ${\sqrt[3]{18 x}}^{3}$ 重写为 $18 x$ 。

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解题步骤 5.3.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{18 x}$ 重写成 ${(18 x)}^{\frac{1}{3}}$ 。

$f (- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}) = - 12 (- \frac{{({(18 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{6^{3}})$

解题步骤 5.3.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}) = - 12 (- \frac{{(18 x)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{6^{3}})$

解题步骤 5.3.5.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$f (- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}) = - 12 (- \frac{{(18 x)}^{\frac{3}{3}}}{6^{3}})$

解题步骤 5.3.5.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.5.4.1

约去公因数。

$f (- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}) = - 12 (- \frac{{(18 x)}^{\frac{3}{3}}}{6^{3}})$

解题步骤 5.3.5.4.2

重写表达式。

$f (- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}) = - 12 (- \frac{18 x}{6^{3}})$

解题步骤 5.3.5.5

化简。

$f (- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}) = - 12 (- \frac{18 x}{6^{3}})$

解题步骤 5.3.6

对 $6$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}) = - 12 (- \frac{18 x}{216})$

解题步骤 5.3.7

约去 $12$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.7.1

将 $- \frac{18 x}{216}$ 中前置负号移到分子中。

$f (- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}) = - 12 \frac{- 18 x}{216}$

解题步骤 5.3.7.2

从 $- 12$ 中分解出因数 $12$ 。

$f (- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}) = 12 (- 1) (\frac{- 18 x}{216})$

解题步骤 5.3.7.3

从 $216$ 中分解出因数 $12$ 。

$f (- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}) = 12 \cdot (- 1 \frac{- 18 x}{12 \cdot 18})$

解题步骤 5.3.7.4

约去公因数。

$f (- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}) = 12 \cdot (- 1 \frac{- 18 x}{12 \cdot 18})$

解题步骤 5.3.7.5

重写表达式。

$f (- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}) = - 1 \frac{- 18 x}{18}$

解题步骤 5.3.8

约去 $- 18$ 和 $18$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.8.1

从 $- 18 x$ 中分解出因数 $18$ 。

$f (- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}) = - 1 \frac{18 (- x)}{18}$

解题步骤 5.3.8.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.8.2.1

从 $18$ 中分解出因数 $18$ 。

$f (- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}) = - 1 \frac{18 (- x)}{18 (1)}$

解题步骤 5.3.8.2.2

约去公因数。

$f (- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}) = - 1 \frac{18 (- x)}{18 \cdot 1}$

解题步骤 5.3.8.2.3

重写表达式。

$f (- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}) = - 1 \frac{- x}{1}$

解题步骤 5.3.8.2.4

用 $- x$ 除以 $1$ 。

$f (- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}) = - 1 (- x)$

解题步骤 5.3.9

乘以 $- 1 (- x)$ 。

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解题步骤 5.3.9.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}) = 1 x$

解题步骤 5.3.9.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = - \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}$ 为 $f (x) = - 12 x^{3}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = - \frac{\sqrt[3]{18 x}}{6}$

代数 示例

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