代数示例

$y = {(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 1

交换变量。

$x = {(\frac{5^{y}}{2})}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为 ${(\frac{5^{y}}{2})}^{\frac{1}{2}} = x$ 。

${(\frac{5^{y}}{2})}^{\frac{1}{2}} = x$

解题步骤 2.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln ({(\frac{5^{y}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \ln (x)$

解题步骤 2.3

展开左边。

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解题步骤 2.3.1

通过将 $\frac{1}{2}$ 移到对数外来展开 $\ln ({(\frac{5^{y}}{2})}^{\frac{1}{2}})$ 。

$\frac{1}{2} \ln (\frac{5^{y}}{2}) = \ln (x)$

解题步骤 2.3.2

将 $\ln (\frac{5^{y}}{2})$ 重写为 $\ln (5^{y}) - \ln (2)$ 。

$\frac{1}{2} (\ln (5^{y}) - \ln (2)) = \ln (x)$

解题步骤 2.3.3

通过将 $y$ 移到对数外来展开 $\ln (5^{y})$ 。

$\frac{1}{2} (y \ln (5) - \ln (2)) = \ln (x)$

解题步骤 2.4

化简左边。

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解题步骤 2.4.1

化简 $\frac{1}{2} (y \ln (5) - \ln (2))$ 。

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解题步骤 2.4.1.1

运用分配律。

$\frac{1}{2} (y \ln (5)) + \frac{1}{2} (- \ln (2)) = \ln (x)$

解题步骤 2.4.1.2

乘以 $\frac{1}{2} (y \ln (5))$ 。

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解题步骤 2.4.1.2.1

组合 $y$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{y}{2} \ln (5) + \frac{1}{2} (- \ln (2)) = \ln (x)$

解题步骤 2.4.1.2.2

组合 $\frac{y}{2}$ 和 $\ln (5)$ 。

$\frac{y \ln (5)}{2} + \frac{1}{2} (- \ln (2)) = \ln (x)$

解题步骤 2.4.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\ln (2)$ 。

$\frac{y \ln (5)}{2} - \frac{\ln (2)}{2} = \ln (x)$

解题步骤 2.5

将 $\frac{y \ln (5)}{2} - \frac{\ln (2)}{2} = \ln (x)$ 中的每一项乘以 $2$ 以消去分数。

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解题步骤 2.5.1

将 $\frac{y \ln (5)}{2} - \frac{\ln (2)}{2} = \ln (x)$ 中的每一项乘以 $2$ 。

$\frac{y \ln (5)}{2} \cdot 2 - \frac{\ln (2)}{2} \cdot 2 = \ln (x) \cdot 2$

解题步骤 2.5.2

化简左边。

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解题步骤 2.5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.5.2.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.2.1.1.1

约去公因数。

$\frac{y \ln (5)}{2} \cdot 2 - \frac{\ln (2)}{2} \cdot 2 = \ln (x) \cdot 2$

解题步骤 2.5.2.1.1.2

重写表达式。

$y \ln (5) - \frac{\ln (2)}{2} \cdot 2 = \ln (x) \cdot 2$

解题步骤 2.5.2.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.2.1.2.1

将 $- \frac{\ln (2)}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$y \ln (5) + \frac{- \ln (2)}{2} \cdot 2 = \ln (x) \cdot 2$

解题步骤 2.5.2.1.2.2

约去公因数。

$y \ln (5) + \frac{- \ln (2)}{2} \cdot 2 = \ln (x) \cdot 2$

解题步骤 2.5.2.1.2.3

重写表达式。

$y \ln (5) - \ln (2) = \ln (x) \cdot 2$

解题步骤 2.5.3

化简右边。

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解题步骤 2.5.3.1

将 $2$ 移到 $\ln (x)$ 的左侧。

$y \ln (5) - \ln (2) = 2 \ln (x)$

解题步骤 2.6

将所有包含对数的项移到等式左边。

$y \ln (5) - \ln (2) - 2 \ln (x) = 0$

解题步骤 2.7

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 2.7.1

在等式两边都加上 $\ln (2)$ 。

$y \ln (5) - 2 \ln (x) = \ln (2)$

解题步骤 2.7.2

在等式两边都加上 $2 \ln (x)$ 。

$y \ln (5) = \ln (2) + 2 \ln (x)$

解题步骤 2.8

将 $y \ln (5) = \ln (2) + 2 \ln (x)$ 中的每一项除以 $\ln (5)$ 并化简。

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解题步骤 2.8.1

将 $y \ln (5) = \ln (2) + 2 \ln (x)$ 中的每一项都除以 $\ln (5)$ 。

$\frac{y \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}$

解题步骤 2.8.2

化简左边。

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解题步骤 2.8.2.1

约去 $\ln (5)$ 的公因数。

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解题步骤 2.8.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}$

解题步骤 2.8.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}$

解题步骤 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}$ 是否为 $f (x) = {(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}$ 的反函数。

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解题步骤 4.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 4.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 4.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 4.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}})$ 。

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}})}{\ln (5)}$

解题步骤 4.2.3

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + 2 \ln ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}})}{\ln (5)}$

解题步骤 4.2.4

化简每一项。

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解题步骤 4.2.4.1

对 $\frac{5^{x}}{2}$ 运用乘积法则。

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + 2 \ln (\frac{{(5^{x})}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}})}{\ln (5)}$

解题步骤 4.2.4.2

将 ${(5^{x})}^{\frac{1}{2}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.4.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + 2 \ln (\frac{5^{x (\frac{1}{2})}}{2^{\frac{1}{2}}})}{\ln (5)}$

解题步骤 4.2.4.2.2

组合 $x$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + 2 \ln (\frac{5^{\frac{x}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}})}{\ln (5)}$

解题步骤 4.2.4.3

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \ln (\frac{5^{\frac{x}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}})$ 。

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + \ln ({(\frac{5^{\frac{x}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}})}^{2})}{\ln (5)}$

解题步骤 4.2.4.4

对 $\frac{5^{\frac{x}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}}$ 运用乘积法则。

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + \ln (\frac{{(5^{\frac{x}{2}})}^{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}{\ln (5)}$

解题步骤 4.2.4.5

将 ${(5^{\frac{x}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.4.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + \ln (\frac{5^{\frac{x}{2} \cdot 2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}{\ln (5)}$

解题步骤 4.2.4.5.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.4.5.2.1

约去公因数。

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + \ln (\frac{5^{\frac{x}{2} \cdot 2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}{\ln (5)}$

解题步骤 4.2.4.5.2.2

重写表达式。

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + \ln (\frac{5^{x}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}{\ln (5)}$

解题步骤 4.2.4.6

化简分母。

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解题步骤 4.2.4.6.1

将 ${(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.4.6.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + \ln (\frac{5^{x}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}{\ln (5)}$

解题步骤 4.2.4.6.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.4.6.1.2.1

约去公因数。

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + \ln (\frac{5^{x}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}{\ln (5)}$

解题步骤 4.2.4.6.1.2.2

重写表达式。

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + \ln (\frac{5^{x}}{2})}{\ln (5)}$

解题步骤 4.2.4.6.2

计算指数。

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + \ln (\frac{5^{x}}{2})}{\ln (5)}$

解题步骤 4.2.5

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2 (\frac{5^{x}}{2}))}{\ln (5)}$

解题步骤 4.2.6

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.6.1

约去公因数。

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2 (\frac{5^{x}}{2}))}{\ln (5)}$

解题步骤 4.2.6.2

重写表达式。

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (5^{x})}{\ln (5)}$

解题步骤 4.2.7

通过将 $x$ 移到对数外来展开 $\ln (5^{x})$ 。

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{x \ln (5)}{\ln (5)}$

解题步骤 4.2.8

约去 $\ln (5)$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.8.1

约去公因数。

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{x \ln (5)}{\ln (5)}$

解题步骤 4.2.8.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = x$

解题步骤 4.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 4.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 4.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)})$ 。

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = {(\frac{5^{\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}}}{2})}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 4.3.3

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \ln (x)$ 。

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = {(\frac{5^{\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{\ln (x^{2})}{\ln (5)}}}{2})}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 4.3.4

化简分子。

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解题步骤 4.3.4.1

在公分母上合并分子。

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = {(\frac{5^{\frac{\ln (2) + \ln (x^{2})}{\ln (5)}}}{2})}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 4.3.4.2

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = {(\frac{5^{\frac{\ln (2 x^{2})}{\ln (5)}}}{2})}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 4.3.4.3

使用换底公式 $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ 。

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = {(\frac{5^{\log_{5} (2 x^{2})}}{2})}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 4.3.4.4

指数函数和对数函数互为反函数。

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = {(\frac{2 x^{2}}{2})}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 4.3.5

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 4.3.5.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.5.1.1

约去公因数。

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = {(\frac{2 x^{2}}{2})}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 4.3.5.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = {(x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 4.3.5.2

将 ${(x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.3.5.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = x^{2 (\frac{1}{2})}$

解题步骤 4.3.5.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.5.2.2.1

约去公因数。

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = x^{2 (\frac{1}{2})}$

解题步骤 4.3.5.2.2.2

重写表达式。

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = x$

解题步骤 4.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}$ 为 $f (x) = {(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}$

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