代数示例

$x = \log_{5} (y)$

解题步骤 1

将方程重写为 $\log_{5} (y) = x$ 。

$\log_{5} (y) = x$

解题步骤 2

使用对数的定义将 $\log_{5} (y) = x$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$5^{x} = y$

解题步骤 3

将方程重写为 $y = 5^{x}$ 。

$y = 5^{x}$

解题步骤 4

交换变量。

$x = 5^{y}$

解题步骤 5

求解 $y$ 。

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解题步骤 5.1

将方程重写为 $5^{y} = x$ 。

$5^{y} = x$

解题步骤 5.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (5^{y}) = \ln (x)$

解题步骤 5.3

通过将 $y$ 移到对数外来展开 $\ln (5^{y})$ 。

$y \ln (5) = \ln (x)$

解题步骤 5.4

将 $y \ln (5) = \ln (x)$ 中的每一项除以 $\ln (5)$ 并化简。

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解题步骤 5.4.1

将 $y \ln (5) = \ln (x)$ 中的每一项都除以 $\ln (5)$ 。

$\frac{y \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$

解题步骤 5.4.2

化简左边。

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解题步骤 5.4.2.1

约去 $\ln (5)$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$

解题步骤 5.4.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$

解题步骤 6

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$

解题步骤 7

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$ 是否为 $f (x) = 5^{x}$ 的反函数。

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解题步骤 7.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 7.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 7.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 7.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} \cdot 5^{x}$ 。

$f^{- 1} \cdot 5^{x} = \frac{\ln (5^{x})}{\ln (5)}$

解题步骤 7.2.3

通过将 $x$ 移到对数外来展开 $\ln (5^{x})$ 。

$f^{- 1} \cdot 5^{x} = \frac{x \ln (5)}{\ln (5)}$

解题步骤 7.2.4

约去 $\ln (5)$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.4.1

约去公因数。

$f^{- 1} \cdot 5^{x} = \frac{x \ln (5)}{\ln (5)}$

解题步骤 7.2.4.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} \cdot 5^{x} = x$

解题步骤 7.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 7.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 7.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{\ln (x)}{\ln (5)})$ 。

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (5)}) = 5^{\frac{\ln (x)}{\ln (5)}}$

解题步骤 7.3.3

使用换底公式 $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ 。

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (5)}) = 5^{\log_{5} (x)}$

解题步骤 7.3.4

指数函数和对数函数互为反函数。

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (5)}) = x$

解题步骤 7.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$ 为 $f (x) = 5^{x}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$

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