代数示例

$y = {(3 x^{4} - 2 x)}^{- \sin (x)}$

解题步骤 1

使用对数的性质化简微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

将 ${(3 x^{4} - 2 x)}^{- \sin (x)}$ 重写为 $e^{\ln ({(3 x^{4} - 2 x)}^{- \sin (x)})}$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(3 x^{4} - 2 x)}^{- \sin (x)})}]$

解题步骤 1.2

通过将 $- \sin (x)$ 移到对数外来展开 $\ln ({(3 x^{4} - 2 x)}^{- \sin (x)})$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)]$

解题步骤 2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)]$

解题步骤 2.3

使用 $- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$e^{- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)} \frac{d}{d x} [- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)]$

解题步骤 3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)]$ 。

$e^{- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)} (- \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)])$

解题步骤 4

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = \ln (3 x^{4} - 2 x)$ 。

$e^{- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)} (- (\sin (x) \frac{d}{d x} [\ln (3 x^{4} - 2 x)] + \ln (3 x^{4} - 2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

解题步骤 5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = 3 x^{4} - 2 x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $3 x^{4} - 2 x$ 。

$e^{- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)} (- (\sin (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 2 x]) + \ln (3 x^{4} - 2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

解题步骤 5.2

$\ln (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{2}}$ 。

$e^{- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)} (- (\sin (x) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 2 x]) + \ln (3 x^{4} - 2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

解题步骤 5.3

使用 $3 x^{4} - 2 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$e^{- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)} (- (\sin (x) (\frac{1}{3 x^{4} - 2 x} \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 2 x]) + \ln (3 x^{4} - 2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

解题步骤 6

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

组合 $\frac{1}{3 x^{4} - 2 x}$ 和 $\sin (x)$ 。

$e^{- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)} (- (\frac{\sin (x)}{3 x^{4} - 2 x} \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 2 x] + \ln (3 x^{4} - 2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

解题步骤 6.2

根据加法法则， $3 x^{4} - 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

$e^{- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)} (- (\frac{\sin (x)}{3 x^{4} - 2 x} (\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \ln (3 x^{4} - 2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

解题步骤 6.3

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$e^{- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)} (- (\frac{\sin (x)}{3 x^{4} - 2 x} (3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \ln (3 x^{4} - 2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

解题步骤 6.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$e^{- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)} (- (\frac{\sin (x)}{3 x^{4} - 2 x} (3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \ln (3 x^{4} - 2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

解题步骤 6.5

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$e^{- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)} (- (\frac{\sin (x)}{3 x^{4} - 2 x} (12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \ln (3 x^{4} - 2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

解题步骤 6.6

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$e^{- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)} (- (\frac{\sin (x)}{3 x^{4} - 2 x} (12 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} [x]) + \ln (3 x^{4} - 2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

解题步骤 6.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)} (- (\frac{\sin (x)}{3 x^{4} - 2 x} (12 x^{3} - 2 \cdot 1) + \ln (3 x^{4} - 2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

解题步骤 6.8

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$e^{- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)} (- (\frac{\sin (x)}{3 x^{4} - 2 x} (12 x^{3} - 2) + \ln (3 x^{4} - 2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

解题步骤 7

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$e^{- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)} (- (\frac{\sin (x)}{3 x^{4} - 2 x} (12 x^{3} - 2) + \ln (3 x^{4} - 2 x) \cos (x)))$

解题步骤 8

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1

运用分配律。

$e^{- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)} (- (\frac{\sin (x)}{3 x^{4} - 2 x} (12 x^{3} - 2)) - (\ln (3 x^{4} - 2 x) \cos (x)))$

解题步骤 8.2

去掉圆括号。

$e^{- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)} (- \frac{\sin (x)}{3 x^{4} - 2 x} (12 x^{3} - 2) - \ln (3 x^{4} - 2 x) \cos (x))$

代数 示例

代数示例