代数示例

$y = \frac{e^{3 x}}{\ln (5 x)}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = e^{3 x}$ 且 $g (x) = \ln (5 x)$ 。

$\frac{\ln (5 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}] - e^{3 x} \frac{d}{d x} [\ln (5 x)]}{\ln^{2} (5 x)}$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 3 x$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $3 x$ 。

$\frac{\ln (5 x) (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3 x]) - e^{3 x} \frac{d}{d x} [\ln (5 x)]}{\ln^{2} (5 x)}$

解题步骤 2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{\ln (5 x) (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [3 x]) - e^{3 x} \frac{d}{d x} [\ln (5 x)]}{\ln^{2} (5 x)}$

解题步骤 2.3

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{\ln (5 x) (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) - e^{3 x} \frac{d}{d x} [\ln (5 x)]}{\ln^{2} (5 x)}$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{\ln (5 x) (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) - e^{3 x} \frac{d}{d x} [\ln (5 x)]}{\ln^{2} (5 x)}$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\ln (5 x) (e^{3 x} (3 \cdot 1)) - e^{3 x} \frac{d}{d x} [\ln (5 x)]}{\ln^{2} (5 x)}$

解题步骤 3.3

化简表达式。

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解题步骤 3.3.1

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\ln (5 x) (e^{3 x} \cdot 3) - e^{3 x} \frac{d}{d x} [\ln (5 x)]}{\ln^{2} (5 x)}$

解题步骤 3.3.2

将 $3$ 移到 $e^{3 x}$ 的左侧。

$\frac{\ln (5 x) (3 \cdot e^{3 x}) - e^{3 x} \frac{d}{d x} [\ln (5 x)]}{\ln^{2} (5 x)}$

解题步骤 4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = 5 x$ 。

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解题步骤 4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $5 x$ 。

$\frac{\ln (5 x) (3 e^{3 x}) - e^{3 x} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x])}{\ln^{2} (5 x)}$

解题步骤 4.2

$\ln (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{2}}$ 。

$\frac{\ln (5 x) (3 e^{3 x}) - e^{3 x} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [5 x])}{\ln^{2} (5 x)}$

解题步骤 4.3

使用 $5 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{\ln (5 x) (3 e^{3 x}) - e^{3 x} (\frac{1}{5 x} \frac{d}{d x} [5 x])}{\ln^{2} (5 x)}$

解题步骤 5

求微分。

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解题步骤 5.1

组合 $\frac{1}{5 x}$ 和 $e^{3 x}$ 。

$\frac{\ln (5 x) (3 e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]}{\ln^{2} (5 x)}$

解题步骤 5.2

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{\ln (5 x) (3 e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x])}{\ln^{2} (5 x)}$

解题步骤 5.3

化简项。

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解题步骤 5.3.1

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\ln (5 x) (3 e^{3 x}) - 5 \frac{e^{3 x}}{5 x} \frac{d}{d x} [x]}{\ln^{2} (5 x)}$

解题步骤 5.3.2

组合 $- 5$ 和 $\frac{e^{3 x}}{5 x}$ 。

$\frac{\ln (5 x) (3 e^{3 x}) + \frac{- 5 e^{3 x}}{5 x} \frac{d}{d x} [x]}{\ln^{2} (5 x)}$

解题步骤 5.3.3

约去 $- 5$ 和 $5$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.1

从 $- 5 e^{3 x}$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{\ln (5 x) (3 e^{3 x}) + \frac{5 (- e^{3 x})}{5 x} \frac{d}{d x} [x]}{\ln^{2} (5 x)}$

解题步骤 5.3.3.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.3.2.1

从 $5 x$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{\ln (5 x) (3 e^{3 x}) + \frac{5 (- e^{3 x})}{5 (x)} \frac{d}{d x} [x]}{\ln^{2} (5 x)}$

解题步骤 5.3.3.2.2

约去公因数。

$\frac{\ln (5 x) (3 e^{3 x}) + \frac{5 (- e^{3 x})}{5 x} \frac{d}{d x} [x]}{\ln^{2} (5 x)}$

解题步骤 5.3.3.2.3

重写表达式。

$\frac{\ln (5 x) (3 e^{3 x}) + \frac{- e^{3 x}}{x} \frac{d}{d x} [x]}{\ln^{2} (5 x)}$

解题步骤 5.3.4

将负号移到分数的前面。

$\frac{\ln (5 x) (3 e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{x} \frac{d}{d x} [x]}{\ln^{2} (5 x)}$

解题步骤 5.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\ln (5 x) (3 e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{x} \cdot 1}{\ln^{2} (5 x)}$

解题步骤 5.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\ln (5 x) (3 e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{x}}{\ln^{2} (5 x)}$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

化简分子。

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解题步骤 6.1.1

化简每一项。

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解题步骤 6.1.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{3 \ln (5 x) e^{3 x} - \frac{e^{3 x}}{x}}{\ln^{2} (5 x)}$

解题步骤 6.1.1.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $3 \ln (5 x)$ 。

$\frac{\ln ({(5 x)}^{3}) e^{3 x} - \frac{e^{3 x}}{x}}{\ln^{2} (5 x)}$

解题步骤 6.1.1.3

对 $5 x$ 运用乘积法则。

$\frac{\ln (5^{3} x^{3}) e^{3 x} - \frac{e^{3 x}}{x}}{\ln^{2} (5 x)}$

解题步骤 6.1.1.4

对 $5$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{\ln (125 x^{3}) e^{3 x} - \frac{e^{3 x}}{x}}{\ln^{2} (5 x)}$

解题步骤 6.1.2

将 $\ln (125 x^{3}) e^{3 x} - \frac{e^{3 x}}{x}$ 中的因式重新排序。

$\frac{e^{3 x} \ln (125 x^{3}) - \frac{e^{3 x}}{x}}{\ln^{2} (5 x)}$

解题步骤 6.2

化简分子。

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解题步骤 6.2.1

从 $e^{3 x} \ln (125 x^{3}) - \frac{e^{3 x}}{x}$ 中分解出因数 $e^{3 x}$ 。

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解题步骤 6.2.1.1

从 $e^{3 x} \ln (125 x^{3})$ 中分解出因数 $e^{3 x}$ 。

$\frac{e^{3 x} (\ln (125 x^{3})) - \frac{e^{3 x}}{x}}{\ln^{2} (5 x)}$

解题步骤 6.2.1.2

从 $- \frac{e^{3 x}}{x}$ 中分解出因数 $e^{3 x}$ 。

$\frac{e^{3 x} (\ln (125 x^{3})) + e^{3 x} (- \frac{1}{x})}{\ln^{2} (5 x)}$

解题步骤 6.2.1.3

从 $e^{3 x} (\ln (125 x^{3})) + e^{3 x} (- \frac{1}{x})$ 中分解出因数 $e^{3 x}$ 。

$\frac{e^{3 x} (\ln (125 x^{3}) - \frac{1}{x})}{\ln^{2} (5 x)}$

解题步骤 6.2.2

要将 $\ln (125 x^{3})$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{e^{3 x} (\frac{\ln (125 x^{3}) x}{x} - \frac{1}{x})}{\ln^{2} (5 x)}$

解题步骤 6.2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{e^{3 x} \frac{\ln (125 x^{3}) x - 1}{x}}{\ln^{2} (5 x)}$

解题步骤 6.3

组合 $e^{3 x}$ 和 $\frac{\ln (125 x^{3}) x - 1}{x}$ 。

$\frac{\frac{e^{3 x} (\ln (125 x^{3}) x - 1)}{x}}{\ln^{2} (5 x)}$

解题步骤 6.4

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{e^{3 x} (\ln (125 x^{3}) x - 1)}{x} \cdot \frac{1}{\ln^{2} (5 x)}$

解题步骤 6.5

合并。

$\frac{e^{3 x} (\ln (125 x^{3}) x - 1) \cdot 1}{x \ln^{2} (5 x)}$

解题步骤 6.6

将 $e^{3 x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{e^{3 x} (\ln (125 x^{3}) x - 1)}{x \ln^{2} (5 x)}$

解题步骤 6.7

将 $\frac{e^{3 x} (\ln (125 x^{3}) x - 1)}{x \ln^{2} (5 x)}$ 中的因式重新排序。

$\frac{e^{3 x} (x \ln (125 x^{3}) - 1)}{x \ln^{2} (5 x)}$

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