代数示例

$y = \frac{e^{6 x}}{\ln (4 x)}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = e^{6 x}$ 且 $g (x) = \ln (4 x)$ 。

$\frac{\ln (4 x) \frac{d}{d x} [e^{6 x}] - e^{6 x} \frac{d}{d x} [\ln (4 x)]}{\ln^{2} (4 x)}$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 6 x$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $6 x$ 。

$\frac{\ln (4 x) (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [6 x]) - e^{6 x} \frac{d}{d x} [\ln (4 x)]}{\ln^{2} (4 x)}$

解题步骤 2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{\ln (4 x) (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [6 x]) - e^{6 x} \frac{d}{d x} [\ln (4 x)]}{\ln^{2} (4 x)}$

解题步骤 2.3

使用 $6 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{\ln (4 x) (e^{6 x} \frac{d}{d x} [6 x]) - e^{6 x} \frac{d}{d x} [\ln (4 x)]}{\ln^{2} (4 x)}$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{\ln (4 x) (e^{6 x} (6 \frac{d}{d x} [x])) - e^{6 x} \frac{d}{d x} [\ln (4 x)]}{\ln^{2} (4 x)}$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\ln (4 x) (e^{6 x} (6 \cdot 1)) - e^{6 x} \frac{d}{d x} [\ln (4 x)]}{\ln^{2} (4 x)}$

解题步骤 3.3

化简表达式。

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解题步骤 3.3.1

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\ln (4 x) (e^{6 x} \cdot 6) - e^{6 x} \frac{d}{d x} [\ln (4 x)]}{\ln^{2} (4 x)}$

解题步骤 3.3.2

将 $6$ 移到 $e^{6 x}$ 的左侧。

$\frac{\ln (4 x) (6 \cdot e^{6 x}) - e^{6 x} \frac{d}{d x} [\ln (4 x)]}{\ln^{2} (4 x)}$

解题步骤 4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = 4 x$ 。

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解题步骤 4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $4 x$ 。

$\frac{\ln (4 x) (6 e^{6 x}) - e^{6 x} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x])}{\ln^{2} (4 x)}$

解题步骤 4.2

$\ln (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{2}}$ 。

$\frac{\ln (4 x) (6 e^{6 x}) - e^{6 x} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [4 x])}{\ln^{2} (4 x)}$

解题步骤 4.3

使用 $4 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{\ln (4 x) (6 e^{6 x}) - e^{6 x} (\frac{1}{4 x} \frac{d}{d x} [4 x])}{\ln^{2} (4 x)}$

解题步骤 5

求微分。

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解题步骤 5.1

组合 $\frac{1}{4 x}$ 和 $e^{6 x}$ 。

$\frac{\ln (4 x) (6 e^{6 x}) - \frac{e^{6 x}}{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]}{\ln^{2} (4 x)}$

解题步骤 5.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{\ln (4 x) (6 e^{6 x}) - \frac{e^{6 x}}{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x])}{\ln^{2} (4 x)}$

解题步骤 5.3

化简项。

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解题步骤 5.3.1

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\ln (4 x) (6 e^{6 x}) - 4 \frac{e^{6 x}}{4 x} \frac{d}{d x} [x]}{\ln^{2} (4 x)}$

解题步骤 5.3.2

组合 $- 4$ 和 $\frac{e^{6 x}}{4 x}$ 。

$\frac{\ln (4 x) (6 e^{6 x}) + \frac{- 4 e^{6 x}}{4 x} \frac{d}{d x} [x]}{\ln^{2} (4 x)}$

解题步骤 5.3.3

约去 $- 4$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.1

从 $- 4 e^{6 x}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{\ln (4 x) (6 e^{6 x}) + \frac{4 (- e^{6 x})}{4 x} \frac{d}{d x} [x]}{\ln^{2} (4 x)}$

解题步骤 5.3.3.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.3.2.1

从 $4 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{\ln (4 x) (6 e^{6 x}) + \frac{4 (- e^{6 x})}{4 (x)} \frac{d}{d x} [x]}{\ln^{2} (4 x)}$

解题步骤 5.3.3.2.2

约去公因数。

$\frac{\ln (4 x) (6 e^{6 x}) + \frac{4 (- e^{6 x})}{4 x} \frac{d}{d x} [x]}{\ln^{2} (4 x)}$

解题步骤 5.3.3.2.3

重写表达式。

$\frac{\ln (4 x) (6 e^{6 x}) + \frac{- e^{6 x}}{x} \frac{d}{d x} [x]}{\ln^{2} (4 x)}$

解题步骤 5.3.4

将负号移到分数的前面。

$\frac{\ln (4 x) (6 e^{6 x}) - \frac{e^{6 x}}{x} \frac{d}{d x} [x]}{\ln^{2} (4 x)}$

解题步骤 5.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\ln (4 x) (6 e^{6 x}) - \frac{e^{6 x}}{x} \cdot 1}{\ln^{2} (4 x)}$

解题步骤 5.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\ln (4 x) (6 e^{6 x}) - \frac{e^{6 x}}{x}}{\ln^{2} (4 x)}$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

化简每一项。

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解题步骤 6.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{6 \ln (4 x) e^{6 x} - \frac{e^{6 x}}{x}}{\ln^{2} (4 x)}$

解题步骤 6.1.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $6 \ln (4 x)$ 。

$\frac{\ln ({(4 x)}^{6}) e^{6 x} - \frac{e^{6 x}}{x}}{\ln^{2} (4 x)}$

解题步骤 6.1.3

对 $4 x$ 运用乘积法则。

$\frac{\ln (4^{6} x^{6}) e^{6 x} - \frac{e^{6 x}}{x}}{\ln^{2} (4 x)}$

解题步骤 6.1.4

对 $4$ 进行 $6$ 次方运算。

$\frac{\ln (4096 x^{6}) e^{6 x} - \frac{e^{6 x}}{x}}{\ln^{2} (4 x)}$

解题步骤 6.2

将 $\ln (4096 x^{6}) e^{6 x} - \frac{e^{6 x}}{x}$ 中的因式重新排序。

$\frac{e^{6 x} \ln (4096 x^{6}) - \frac{e^{6 x}}{x}}{\ln^{2} (4 x)}$

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