代数示例

$\ln (x^{3} \sin^{2} (x))$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = x^{3} \sin^{2} (x)$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x^{3} \sin^{2} (x)$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{3} \sin^{2} (x)]$

解题步骤 1.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{3} \sin^{2} (x)]$

解题步骤 1.3

使用 $x^{3} \sin^{2} (x)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} \frac{d}{d x} [x^{3} \sin^{2} (x)]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = \sin^{2} (x)$ 。

$\frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (x^{3} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\sin (x)$ 。

$\frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (x^{3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (x^{3} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 3.3

使用 $\sin (x)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (x^{3} (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 4

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (x^{3} (2 \sin (x) \cos (x)) + \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (x^{3} (2 \sin (x) \cos (x)) + \sin^{2} (x) (3 x^{2}))$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$\frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (x^{3} (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (\sin^{2} (x) (3 x^{2}))$

解题步骤 6.2

合并项。

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解题步骤 6.2.1

组合 $x^{3}$ 和 $\frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)}$ 。

$\frac{x^{3}}{x^{3} \sin^{2} (x)} (2 \sin (x) \cos (x)) + \frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (\sin^{2} (x) (3 x^{2}))$

解题步骤 6.2.2

组合 $2$ 和 $\frac{x^{3}}{x^{3} \sin^{2} (x)}$ 。

$\frac{2 x^{3}}{x^{3} \sin^{2} (x)} (\sin (x) \cos (x)) + \frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (\sin^{2} (x) (3 x^{2}))$

解题步骤 6.2.3

组合 $\sin (x)$ 和 $\frac{2 x^{3}}{x^{3} \sin^{2} (x)}$ 。

$\frac{\sin (x) (2 x^{3})}{x^{3} \sin^{2} (x)} \cos (x) + \frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (\sin^{2} (x) (3 x^{2}))$

解题步骤 6.2.4

组合 $\frac{\sin (x) (2 x^{3})}{x^{3} \sin^{2} (x)}$ 和 $\cos (x)$ 。

$\frac{\sin (x) (2 x^{3}) \cos (x)}{x^{3} \sin^{2} (x)} + \frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (\sin^{2} (x) (3 x^{2}))$

解题步骤 6.2.5

约去 $\sin (x)$ 和 $\sin^{2} (x)$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.5.1

从 $\sin (x) (2 x^{3}) \cos (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$\frac{\sin (x) ((2 x^{3}) \cos (x))}{x^{3} \sin^{2} (x)} + \frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (\sin^{2} (x) (3 x^{2}))$

解题步骤 6.2.5.2

约去公因数。

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解题步骤 6.2.5.2.1

从 $x^{3} \sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$\frac{\sin (x) ((2 x^{3}) \cos (x))}{\sin (x) (x^{3} \sin (x))} + \frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (\sin^{2} (x) (3 x^{2}))$

解题步骤 6.2.5.2.2

约去公因数。

$\frac{\sin (x) ((2 x^{3}) \cos (x))}{\sin (x) (x^{3} \sin (x))} + \frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (\sin^{2} (x) (3 x^{2}))$

解题步骤 6.2.5.2.3

重写表达式。

$\frac{(2 x^{3}) \cos (x)}{x^{3} \sin (x)} + \frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (\sin^{2} (x) (3 x^{2}))$

解题步骤 6.2.6

约去 $x^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.6.1

约去公因数。

$\frac{2 x^{3} \cos (x)}{x^{3} \sin (x)} + \frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (\sin^{2} (x) (3 x^{2}))$

解题步骤 6.2.6.2

重写表达式。

$\frac{(2) \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (\sin^{2} (x) (3 x^{2}))$

解题步骤 6.2.7

将 $\frac{2 \cos (x)}{\sin (x)}$ 转换成 $2 \cot (x)$ 。

$2 \cot (x) + \frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (\sin^{2} (x) (3 x^{2}))$

解题步骤 6.2.8

组合 $\sin^{2} (x)$ 和 $\frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)}$ 。

$2 \cot (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{x^{3} \sin^{2} (x)} (3 x^{2})$

解题步骤 6.2.9

组合 $3$ 和 $\frac{\sin^{2} (x)}{x^{3} \sin^{2} (x)}$ 。

$2 \cot (x) + \frac{3 \sin^{2} (x)}{x^{3} \sin^{2} (x)} x^{2}$

解题步骤 6.2.10

组合 $\frac{3 \sin^{2} (x)}{x^{3} \sin^{2} (x)}$ 和 $x^{2}$ 。

$2 \cot (x) + \frac{3 \sin^{2} (x) x^{2}}{x^{3} \sin^{2} (x)}$

解题步骤 6.2.11

约去 $\sin^{2} (x)$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.11.1

约去公因数。

$2 \cot (x) + \frac{3 \sin^{2} (x) x^{2}}{x^{3} \sin^{2} (x)}$

解题步骤 6.2.11.2

重写表达式。

$2 \cot (x) + \frac{3 x^{2}}{x^{3}}$

解题步骤 6.2.12

约去 $x^{2}$ 和 $x^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.12.1

从 $3 x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$2 \cot (x) + \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{3}}$

解题步骤 6.2.12.2

约去公因数。

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解题步骤 6.2.12.2.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$2 \cot (x) + \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} x}$

解题步骤 6.2.12.2.2

约去公因数。

$2 \cot (x) + \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} x}$

解题步骤 6.2.12.2.3

重写表达式。

$2 \cot (x) + \frac{3}{x}$

解题步骤 6.3

重新排序项。

$\frac{3}{x} + 2 \cot (x)$

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