代数示例

$\frac{d}{d x} (\frac{x^{2} + 3}{x^{3} - 2})$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2} + 3$ 且 $g (x) = x^{3} - 2$ 。

$\frac{(x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3] - (x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{3} - 2]}{{(x^{3} - 2)}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $x^{2} + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$\frac{(x^{3} - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) - (x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{3} - 2]}{{(x^{3} - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(x^{3} - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [3]) - (x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{3} - 2]}{{(x^{3} - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.3

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x^{3} - 2) (2 x + 0) - (x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{3} - 2]}{{(x^{3} - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.4

化简表达式。

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解题步骤 2.4.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x^{3} - 2) (2 x) - (x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{3} - 2]}{{(x^{3} - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.4.2

将 $2$ 移到 $x^{3} - 2$ 的左侧。

$\frac{2 \cdot (x^{3} - 2) x - (x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{3} - 2]}{{(x^{3} - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.5

根据加法法则， $x^{3} - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$\frac{2 (x^{3} - 2) x - (x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x^{3} - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{2 (x^{3} - 2) x - (x^{2} + 3) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x^{3} - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.7

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{2 (x^{3} - 2) x - (x^{2} + 3) (3 x^{2} + 0)}{{(x^{3} - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.8

化简表达式。

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解题步骤 2.8.1

将 $3 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 (x^{3} - 2) x - (x^{2} + 3) (3 x^{2})}{{(x^{3} - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.8.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 (x^{3} - 2) x - 3 (x^{2} + 3) x^{2}}{{(x^{3} - 2)}^{2}}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$\frac{(2 x^{3} + 2 \cdot - 2) x - 3 (x^{2} + 3) x^{2}}{{(x^{3} - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$\frac{2 x^{3} x + 2 \cdot - 2 x - 3 (x^{2} + 3) x^{2}}{{(x^{3} - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3

运用分配律。

$\frac{2 x^{3} x + 2 \cdot - 2 x + (- 3 x^{2} - 3 \cdot 3) x^{2}}{{(x^{3} - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.4

运用分配律。

$\frac{2 x^{3} x + 2 \cdot - 2 x - 3 x^{2} x^{2} - 3 \cdot 3 x^{2}}{{(x^{3} - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.5

化简分子。

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解题步骤 3.5.1

化简每一项。

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解题步骤 3.5.1.1

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.5.1.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{2 (x \cdot x^{3}) + 2 \cdot - 2 x - 3 x^{2} x^{2} - 3 \cdot 3 x^{2}}{{(x^{3} - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.5.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 3.5.1.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 (x^{1} x^{3}) + 2 \cdot - 2 x - 3 x^{2} x^{2} - 3 \cdot 3 x^{2}}{{(x^{3} - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.5.1.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 x^{1 + 3} + 2 \cdot - 2 x - 3 x^{2} x^{2} - 3 \cdot 3 x^{2}}{{(x^{3} - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.5.1.1.3

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$\frac{2 x^{4} + 2 \cdot - 2 x - 3 x^{2} x^{2} - 3 \cdot 3 x^{2}}{{(x^{3} - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.5.1.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{2 x^{4} - 4 x - 3 x^{2} x^{2} - 3 \cdot 3 x^{2}}{{(x^{3} - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.5.1.3

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.5.1.3.1

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{2 x^{4} - 4 x - 3 (x^{2} x^{2}) - 3 \cdot 3 x^{2}}{{(x^{3} - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.5.1.3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 x^{4} - 4 x - 3 x^{2 + 2} - 3 \cdot 3 x^{2}}{{(x^{3} - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.5.1.3.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{2 x^{4} - 4 x - 3 x^{4} - 3 \cdot 3 x^{2}}{{(x^{3} - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.5.1.4

将 $- 3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{2 x^{4} - 4 x - 3 x^{4} - 9 x^{2}}{{(x^{3} - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.5.2

从 $2 x^{4}$ 中减去 $3 x^{4}$ 。

$\frac{- x^{4} - 4 x - 9 x^{2}}{{(x^{3} - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.6

重新排序项。

$\frac{- x^{4} - 9 x^{2} - 4 x}{{(x^{3} - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.7

从 $- x^{4} - 9 x^{2} - 4 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 3.7.1

从 $- x^{4}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (- x^{3}) - 9 x^{2} - 4 x}{{(x^{3} - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.7.2

从 $- 9 x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (- x^{3}) + x (- 9 x) - 4 x}{{(x^{3} - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.7.3

从 $- 4 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (- x^{3}) + x (- 9 x) + x \cdot - 4}{{(x^{3} - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.7.4

从 $x (- x^{3}) + x (- 9 x)$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (- x^{3} - 9 x) + x \cdot - 4}{{(x^{3} - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.7.5

从 $x (- x^{3} - 9 x) + x \cdot - 4$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (- x^{3} - 9 x - 4)}{{(x^{3} - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.8

从 $- x^{3}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{x (- (x^{3}) - 9 x - 4)}{{(x^{3} - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.9

从 $- 9 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{x (- (x^{3}) - (9 x) - 4)}{{(x^{3} - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.10

从 $- (x^{3}) - (9 x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{x (- (x^{3} + 9 x) - 4)}{{(x^{3} - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.11

将 $- 4$ 重写为 $- 1 (4)$ 。

$\frac{x (- (x^{3} + 9 x) - 1 (4))}{{(x^{3} - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.12

从 $- (x^{3} + 9 x) - 1 (4)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{x (- (x^{3} + 9 x + 4))}{{(x^{3} - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.13

将 $- (x^{3} + 9 x + 4)$ 重写为 $- 1 (x^{3} + 9 x + 4)$ 。

$\frac{x (- 1 (x^{3} + 9 x + 4))}{{(x^{3} - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.14

将负号移到分数的前面。

$- \frac{x (x^{3} + 9 x + 4)}{{(x^{3} - 2)}^{2}}$

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