代数示例

$f (x) = x^{6} - 5 x^{5} + 3 x^{2} + 2 - \sqrt{x^{3}}$

解题步骤 1

求微分。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $x^{6} - 5 x^{5} + 3 x^{2} + 2 - \sqrt{x^{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{5}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{5}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 6$ 。

$6 x^{5} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{5}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [- 5 x^{5}]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$6 x^{5} - 5 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$6 x^{5} - 5 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$

解题步骤 2.3

将 $5$ 乘以 $- 5$ 。

$6 x^{5} - 25 x^{4} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$6 x^{5} - 25 x^{4} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$6 x^{5} - 25 x^{4} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$

解题步骤 3.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$6 x^{5} - 25 x^{4} + 6 x + \frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$

解题步骤 4

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$6 x^{5} - 25 x^{4} + 6 x + 0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$

解题步骤 5

计算 $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$ 。

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解题步骤 5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x^{3}}$ 重写成 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

$6 x^{5} - 25 x^{4} + 6 x + 0 + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 5.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{\frac{3}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ 。

$6 x^{5} - 25 x^{4} + 6 x + 0 - \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 5.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{3}{2}$ 。

$6 x^{5} - 25 x^{4} + 6 x + 0 - (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

解题步骤 5.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$6 x^{5} - 25 x^{4} + 6 x + 0 - (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

解题步骤 5.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$6 x^{5} - 25 x^{4} + 6 x + 0 - (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 5.6

在公分母上合并分子。

$6 x^{5} - 25 x^{4} + 6 x + 0 - (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 5.7

化简分子。

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解题步骤 5.7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$6 x^{5} - 25 x^{4} + 6 x + 0 - (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

解题步骤 5.7.2

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$6 x^{5} - 25 x^{4} + 6 x + 0 - (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 5.8

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$6 x^{5} - 25 x^{4} + 6 x + 0 - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 6

将 $6 x^{5} - 25 x^{4} + 6 x$ 和 $0$ 相加。

$6 x^{5} - 25 x^{4} + 6 x - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

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