代数示例

$f (x) = \ln (| \ln (11 x) |)$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = | \ln (11 x) |$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $| \ln (11 x) |$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [| \ln (11 x) |]$

解题步骤 1.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [| \ln (11 x) |]$

解题步骤 1.3

使用 $| \ln (11 x) |$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{| \ln (11 x) |} \frac{d}{d x} [| \ln (11 x) |]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = | x |$ 且 $g (x) = \ln (11 x)$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\ln (11 x)$ 。

$\frac{1}{| \ln (11 x) |} (\frac{d}{d u_{2}} [| u_{2} |] \frac{d}{d x} [\ln (11 x)])$

解题步骤 2.2

$| u_{2} |$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\frac{u_{2}}{| u_{2} |}$ 。

$\frac{1}{| \ln (11 x) |} (\frac{u_{2}}{| u_{2} |} \frac{d}{d x} [\ln (11 x)])$

解题步骤 2.3

使用 $\ln (11 x)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{| \ln (11 x) |} (\frac{\ln (11 x)}{| \ln (11 x) |} \frac{d}{d x} [\ln (11 x)])$

解题步骤 3

将 $\frac{\ln (11 x)}{| \ln (11 x) |}$ 乘以 $\frac{1}{| \ln (11 x) |}$ 。

$\frac{\ln (11 x)}{| \ln (11 x) | | \ln (11 x) |} \frac{d}{d x} [\ln (11 x)]$

解题步骤 4

要将绝对值相乘，请将每个绝对值内的项相乘。

$\frac{\ln (11 x)}{| \ln (11 x) \ln (11 x) |} \frac{d}{d x} [\ln (11 x)]$

解题步骤 5

对 $\ln (11 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\ln (11 x)}{| \ln^{1} (11 x) \ln (11 x) |} \frac{d}{d x} [\ln (11 x)]$

解题步骤 6

对 $\ln (11 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\ln (11 x)}{| \ln^{1} (11 x) \ln^{1} (11 x) |} \frac{d}{d x} [\ln (11 x)]$

解题步骤 7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\ln (11 x)}{| {\ln (11 x)}^{1 + 1} |} \frac{d}{d x} [\ln (11 x)]$

解题步骤 8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\ln (11 x)}{| \ln^{2} (11 x) |} \frac{d}{d x} [\ln (11 x)]$

解题步骤 9

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = 11 x$ 。

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解题步骤 9.1

要使用链式法则，请将 $u_{3}$ 设为 $11 x$ 。

$\frac{\ln (11 x)}{| \ln^{2} (11 x) |} (\frac{d}{d u_{3}} [\ln (u_{3})] \frac{d}{d x} [11 x])$

解题步骤 9.2

$\ln (u_{3})$ 对 $u_{3}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{3}}$ 。

$\frac{\ln (11 x)}{| \ln^{2} (11 x) |} (\frac{1}{u_{3}} \frac{d}{d x} [11 x])$

解题步骤 9.3

使用 $11 x$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$\frac{\ln (11 x)}{| \ln^{2} (11 x) |} (\frac{1}{11 x} \frac{d}{d x} [11 x])$

解题步骤 10

求微分。

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解题步骤 10.1

将 $\frac{1}{11 x}$ 乘以 $\frac{\ln (11 x)}{| \ln^{2} (11 x) |}$ 。

$\frac{\ln (11 x)}{11 x | \ln^{2} (11 x) |} \frac{d}{d x} [11 x]$

解题步骤 10.2

因为 $11$ 对于 $x$ 是常数，所以 $11 x$ 对 $x$ 的导数是 $11 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{\ln (11 x)}{11 x | \ln^{2} (11 x) |} (11 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 10.3

化简项。

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解题步骤 10.3.1

组合 $11$ 和 $\frac{\ln (11 x)}{11 x | \ln^{2} (11 x) |}$ 。

$\frac{11 \ln (11 x)}{11 x | \ln^{2} (11 x) |} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 10.3.2

约去 $11$ 的公因数。

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解题步骤 10.3.2.1

约去公因数。

$\frac{11 \ln (11 x)}{11 x | \ln^{2} (11 x) |} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 10.3.2.2

重写表达式。

$\frac{\ln (11 x)}{x | \ln^{2} (11 x) |} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 10.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\ln (11 x)}{x | \ln^{2} (11 x) |} \cdot 1$

解题步骤 10.5

将 $\frac{\ln (11 x)}{x | \ln^{2} (11 x) |}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\ln (11 x)}{x | \ln^{2} (11 x) |}$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

从绝对值中去掉非负项。

$\frac{\ln (11 x)}{x \ln^{2} (11 x)}$

解题步骤 11.2

约去 $\ln (11 x)$ 和 $\ln^{2} (11 x)$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.1

乘以 $1$ 。

$\frac{\ln (11 x) \cdot 1}{x \ln^{2} (11 x)}$

解题步骤 11.2.2

约去公因数。

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解题步骤 11.2.2.1

从 $x \ln^{2} (11 x)$ 中分解出因数 $\ln (11 x)$ 。

$\frac{\ln (11 x) \cdot 1}{\ln (11 x) (x \ln (11 x))}$

解题步骤 11.2.2.2

约去公因数。

$\frac{\ln (11 x) \cdot 1}{\ln (11 x) (x \ln (11 x))}$

解题步骤 11.2.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{x \ln (11 x)}$

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