代数示例

$4 \tan^{-1} (e^{u} + \sin (v))$

解题步骤 1

因为 $4$ 对于 $v$ 是常数，所以 $4 \tan^{-1} (e^{u} + \sin (v))$ 对 $v$ 的导数是 $4 \frac{d}{d v} [\tan^{-1} (e^{u} + \sin (v))]$ 。

$4 \frac{d}{d v} [\tan^{-1} (e^{u} + \sin (v))]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d v} [f (g (v))]$ 等于 $f' (g (v)) g' (v)$ ，其中 $f (v) = \tan^{-1} (v)$ 且 $g (v) = e^{u} + \sin (v)$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $e^{u} + \sin (v)$ 。

$4 (\frac{d}{d u_{1}} [\tan^{-1} (u_{1})] \frac{d}{d v} [e^{u} + \sin (v)])$

解题步骤 2.2

$\tan^{-1} (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ 。

$4 (\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d v} [e^{u} + \sin (v)])$

解题步骤 2.3

使用 $e^{u} + \sin (v)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$4 (\frac{1}{1 + {(e^{u} + \sin (v))}^{2}} \frac{d}{d v} [e^{u} + \sin (v)])$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

组合 $\frac{1}{1 + {(e^{u} + \sin (v))}^{2}}$ 和 $4$ 。

$\frac{4}{1 + {(e^{u} + \sin (v))}^{2}} \frac{d}{d v} [e^{u} + \sin (v)]$

解题步骤 3.2

根据加法法则， $e^{u} + \sin (v)$ 对 $v$ 的导数是 $\frac{d}{d v} [e^{u}] + \frac{d}{d v} [\sin (v)]$ 。

$\frac{4}{1 + {(e^{u} + \sin (v))}^{2}} (\frac{d}{d v} [e^{u}] + \frac{d}{d v} [\sin (v)])$

解题步骤 3.3

因为 $e^{u}$ 对于 $v$ 是常数，所以 $e^{u}$ 对 $v$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{4}{1 + {(e^{u} + \sin (v))}^{2}} (0 + \frac{d}{d v} [\sin (v)])$

解题步骤 3.4

将 $0$ 和 $\frac{d}{d v} [\sin (v)]$ 相加。

$\frac{4}{1 + {(e^{u} + \sin (v))}^{2}} \frac{d}{d v} [\sin (v)]$

解题步骤 4

$\sin (v)$ 对 $v$ 的导数为 $\cos (v)$ 。

$\frac{4}{1 + {(e^{u} + \sin (v))}^{2}} \cos (v)$

解题步骤 5

合并分数。

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解题步骤 5.1

组合 $\frac{4}{1 + {(e^{u} + \sin (v))}^{2}}$ 和 $\cos (v)$ 。

$\frac{4 \cos (v)}{1 + {(e^{u} + \sin (v))}^{2}}$

解题步骤 5.2

重新排序项。

$\frac{4 \cos (v)}{{(e^{u} + \sin (v))}^{2} + 1}$

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