代数示例

$f (x) = \frac{1}{x^{9}}$ $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[9]{x^{8}}}{x}$

解题步骤 1

将 $f (x) = \frac{1}{x^{9}}$ 写为等式。

$y = \frac{1}{x^{9}}$

解题步骤 2

交换变量。

$x = \frac{1}{y^{9}}$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $\frac{1}{y^{9}} = x$ 。

$\frac{1}{y^{9}} = x$

解题步骤 3.2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 3.2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$y^{9}, 1$

解题步骤 3.2.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$y^{9}$

解题步骤 3.3

将 $\frac{1}{y^{9}} = x$ 中的每一项乘以 $y^{9}$ 以消去分数。

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解题步骤 3.3.1

将 $\frac{1}{y^{9}} = x$ 中的每一项乘以 $y^{9}$ 。

$\frac{1}{y^{9}} y^{9} = x y^{9}$

解题步骤 3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.1

约去 $y^{9}$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{1}{y^{9}} y^{9} = x y^{9}$

解题步骤 3.3.2.1.2

重写表达式。

$1 = x y^{9}$

解题步骤 3.4

求解方程。

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解题步骤 3.4.1

将方程重写为 $x y^{9} = 1$ 。

$x y^{9} = 1$

解题步骤 3.4.2

将 $x y^{9} = 1$ 中的每一项除以 $x$ 并化简。

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解题步骤 3.4.2.1

将 $x y^{9} = 1$ 中的每一项都除以 $x$ 。

$\frac{x y^{9}}{x} = \frac{1}{x}$

解题步骤 3.4.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.2.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x y^{9}}{x} = \frac{1}{x}$

解题步骤 3.4.2.2.1.2

用 $y^{9}$ 除以 $1$ 。

$y^{9} = \frac{1}{x}$

解题步骤 3.4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[9]{\frac{1}{x}}$

解题步骤 3.4.4

化简 $\sqrt[9]{\frac{1}{x}}$ 。

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解题步骤 3.4.4.1

将 $\sqrt[9]{\frac{1}{x}}$ 重写为 $\frac{\sqrt[9]{1}}{\sqrt[9]{x}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[9]{1}}{\sqrt[9]{x}}$

解题步骤 3.4.4.2

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$y = \frac{1}{\sqrt[9]{x}}$

解题步骤 3.4.4.3

将 $\frac{1}{\sqrt[9]{x}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[9]{x}}^{8}}{{\sqrt[9]{x}}^{8}}$ 。

$y = \frac{1}{\sqrt[9]{x}} \cdot \frac{{\sqrt[9]{x}}^{8}}{{\sqrt[9]{x}}^{8}}$

解题步骤 3.4.4.4

合并和化简分母。

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解题步骤 3.4.4.4.1

将 $\frac{1}{\sqrt[9]{x}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[9]{x}}^{8}}{{\sqrt[9]{x}}^{8}}$ 。

$y = \frac{{\sqrt[9]{x}}^{8}}{\sqrt[9]{x} {\sqrt[9]{x}}^{8}}$

解题步骤 3.4.4.4.2

对 $\sqrt[9]{x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \frac{{\sqrt[9]{x}}^{8}}{{\sqrt[9]{x}}^{1} {\sqrt[9]{x}}^{8}}$

解题步骤 3.4.4.4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = \frac{{\sqrt[9]{x}}^{8}}{{\sqrt[9]{x}}^{1 + 8}}$

解题步骤 3.4.4.4.4

将 $1$ 和 $8$ 相加。

$y = \frac{{\sqrt[9]{x}}^{8}}{{\sqrt[9]{x}}^{9}}$

解题步骤 3.4.4.4.5

将 ${\sqrt[9]{x}}^{9}$ 重写为 $x$ 。

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解题步骤 3.4.4.4.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[9]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{9}}$ 。

$y = \frac{{\sqrt[9]{x}}^{8}}{{(x^{\frac{1}{9}})}^{9}}$

解题步骤 3.4.4.4.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = \frac{{\sqrt[9]{x}}^{8}}{x^{\frac{1}{9} \cdot 9}}$

解题步骤 3.4.4.4.5.3

组合 $\frac{1}{9}$ 和 $9$ 。

$y = \frac{{\sqrt[9]{x}}^{8}}{x^{\frac{9}{9}}}$

解题步骤 3.4.4.4.5.4

约去 $9$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.4.4.5.4.1

约去公因数。

$y = \frac{{\sqrt[9]{x}}^{8}}{x^{\frac{9}{9}}}$

解题步骤 3.4.4.4.5.4.2

重写表达式。

$y = \frac{{\sqrt[9]{x}}^{8}}{x^{1}}$

解题步骤 3.4.4.4.5.5

化简。

$y = \frac{{\sqrt[9]{x}}^{8}}{x}$

解题步骤 3.4.4.5

将 ${\sqrt[9]{x}}^{8}$ 重写为 $\sqrt[9]{x^{8}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[9]{x^{8}}}{x}$

解题步骤 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[9]{x^{8}}}{x}$

解题步骤 5

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 6

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\frac{1}{x^{9}})$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{9}}) = \frac{\sqrt[9]{{(\frac{1}{x^{9}})}^{8}}}{\frac{1}{x^{9}}}$

解题步骤 7

将分子乘以分母的倒数。

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{9}}) = \sqrt[9]{{(\frac{1}{x^{9}})}^{8}} x^{9}$

解题步骤 8

对 $\frac{1}{x^{9}}$ 运用乘积法则。

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{9}}) = \sqrt[9]{\frac{1^{8}}{{(x^{9})}^{8}}} x^{9}$

解题步骤 9

一的任意次幂都为一。

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{9}}) = \sqrt[9]{\frac{1}{{(x^{9})}^{8}}} x^{9}$

解题步骤 10

将 ${(x^{9})}^{8}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 10.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{9}}) = \sqrt[9]{\frac{1}{x^{9 \cdot 8}}} x^{9}$

解题步骤 10.2

将 $9$ 乘以 $8$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{9}}) = \sqrt[9]{\frac{1}{x^{72}}} x^{9}$

解题步骤 11

将 $1$ 重写为 $1^{9}$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{9}}) = \sqrt[9]{\frac{1^{9}}{x^{72}}} x^{9}$

解题步骤 12

将 $x^{72}$ 重写为 ${(x^{8})}^{9}$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{9}}) = \sqrt[9]{\frac{1^{9}}{{(x^{8})}^{9}}} x^{9}$

解题步骤 13

将 $\frac{1^{9}}{{(x^{8})}^{9}}$ 重写为 ${(\frac{1}{x^{8}})}^{9}$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{9}}) = \sqrt[9]{{(\frac{1}{x^{8}})}^{9}} x^{9}$

解题步骤 14

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{9}}) = \frac{1}{x^{8}} \cdot x^{9}$

解题步骤 15

约去 $x^{8}$ 的公因数。

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解题步骤 15.1

从 $x^{9}$ 中分解出因数 $x^{8}$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{9}}) = \frac{1}{x^{8}} \cdot (x^{8} x)$

解题步骤 15.2

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{9}}) = \frac{1}{x^{8}} \cdot (x^{8} x)$

解题步骤 15.3

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{9}}) = x$

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