代数示例

$- (y - 4) = x + 9$ , $x - \frac{8}{3} y = 0$

解题步骤 1

将各个平面方程转化为标准形式。

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解题步骤 1.1

化简。

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解题步骤 1.1.1

运用分配律。

$- y - - 4 = x + 9, x - \frac{8}{3} y = 0$

解题步骤 1.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$- y + 4 = x + 9, x - \frac{8}{3} y = 0$

解题步骤 1.2

从等式两边同时减去 $4$ 。

$- y = x + 9 - 4, x - \frac{8}{3} y = 0$

解题步骤 1.3

从等式两边同时减去 $x$ 。

$- y - x = 9 - 4, x - \frac{8}{3} y = 0$

解题步骤 1.4

化简每一项。

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解题步骤 1.4.1

组合 $y$ 和 $\frac{8}{3}$ 。

$- y - x = 9 - 4, x - \frac{y \cdot 8}{3} = 0$

解题步骤 1.4.2

将 $8$ 移到 $y$ 的左侧。

$- y - x = 9 - 4, x - \frac{8 y}{3} = 0$

解题步骤 1.5

从 $9$ 中减去 $4$ 。

$- y - x = 5, x - \frac{8 y}{3} = 0$

解题步骤 2

要求经过点 $(p, q, r)$ 且垂直于平面 $P_{1}$ $a x + b y + c z = d$ 和平面 $P_{2}$ $e x + f y + g z = h$ 直线的交点：

1. 求平面 $P_{1}$ 和平面 $P_{2}$ 的法向量 $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ 和 $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ 。检验其点积是否为 0。

2. 创建一个参数方程组，比如 $x = p + a t$ 、 $y = q + b t$ 和 $z = r + c t$ 。

3. 将这些等式代入平面方程 $P_{2}$ ，使得 $e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h$ 并求解 $t$ 。

4. 使用 $t$ 的值，求解参数方程 $x = p + a t$ 、 $y = q + b t$ 和 $z = r + c t$ ，以求 $t$ 的交集 $(x, y, z)$ 。

解题步骤 3

求每一平面的法向量并通过计算点积来判断它们是否垂直。

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解题步骤 3.1

$P_{1}$ 为 $- y - x = 5$ 。求平面方程 $a x + b y + c z = d$ 的法向量 $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ 。

$n_{1} = ⟨ - 1, - 1, 0 ⟩$

解题步骤 3.2

$P_{2}$ 为 $x - \frac{8 y}{3} = 0$ 。求平面方程 $e x + f y + g z = h$ 的法向量 $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ 。

$n_{2} = ⟨ 1, - \frac{8}{3}, 0 ⟩$

解题步骤 3.3

将法向量中相对应的 $x$ 、 $y$ 和 $z$ 数值乘积相加，计算 $n_{1}$ 和 $n_{2}$ 的点积。

$- 1 \cdot 1 - 1 \cdot (- \frac{8}{3}) + 0 \cdot 0$

解题步骤 3.4

化简点积。

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解题步骤 3.4.1

去掉圆括号。

$- 1 \cdot 1 - 1 \cdot (- \frac{8}{3}) + 0 \cdot 0$

解题步骤 3.4.2

化简每一项。

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解题步骤 3.4.2.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1 - 1 \cdot (- \frac{8}{3}) + 0 \cdot 0$

解题步骤 3.4.2.2

乘以 $- 1 (- \frac{8}{3})$ 。

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解题步骤 3.4.2.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- 1 + 1 (\frac{8}{3}) + 0 \cdot 0$

解题步骤 3.4.2.2.2

将 $\frac{8}{3}$ 乘以 $1$ 。

$- 1 + \frac{8}{3} + 0 \cdot 0$

解题步骤 3.4.2.3

将 $0$ 乘以 $0$ 。

$- 1 + \frac{8}{3} + 0$

解题步骤 3.4.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{8}{3} + 0$

解题步骤 3.4.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{8}{3} + 0$

解题步骤 3.4.5

在公分母上合并分子。

$\frac{- 1 \cdot 3 + 8}{3} + 0$

解题步骤 3.4.6

化简分子。

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解题步骤 3.4.6.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- 3 + 8}{3} + 0$

解题步骤 3.4.6.2

将 $- 3$ 和 $8$ 相加。

$\frac{5}{3} + 0$

解题步骤 3.4.7

将 $\frac{5}{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{5}{3}$

解题步骤 4

下一步，使用点 $(p, q, r)$ 的原点 $(0, 0, 0)$ 和标准向量 $\frac{5}{3}$ 的 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值，建立一组参数方程 $x = p + a t$ 、 $y = q + b t$ 和 $z = r + c t$ 。这组参数方程表示经过原点并与 $P_{1}$ $- y - x = 5$ 垂直的直线。

$x = 0 + - 1 \cdot t$

$y = 0 + - 1 \cdot t$

$z = 0 + 0 \cdot t$

解题步骤 5

将表达式 $x$ 、 $y$ 和 $z$ 代入 $P_{2}$ $x - \frac{8 y}{3} = 0$ 的方程。

$(0 - 1 \cdot t) - \frac{8 (0 - 1 \cdot t)}{3} = 0$

解题步骤 6

求解 $t$ 的方程。

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解题步骤 6.1

化简 $(0 - 1 \cdot t) - \frac{8 (0 - 1 \cdot t)}{3}$ 。

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解题步骤 6.1.1

合并 $(0 - 1 \cdot t) - \frac{8 (0 - 1 \cdot t)}{3}$ 中相反的项。

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解题步骤 6.1.1.1

从 $0$ 中减去 $1 \cdot t$ 。

$- 1 \cdot t - \frac{8 (0 - 1 \cdot t)}{3} = 0$

解题步骤 6.1.1.2

从 $0$ 中减去 $1 \cdot t$ 。

$- 1 \cdot t - \frac{8 (- 1 \cdot t)}{3} = 0$

解题步骤 6.1.2

化简每一项。

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解题步骤 6.1.2.1

将 $- 1 t$ 重写为 $- t$ 。

$- t - \frac{8 (- 1 \cdot t)}{3} = 0$

解题步骤 6.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$- t - \frac{- 8 t}{3} = 0$

解题步骤 6.1.2.3

将负号移到分数的前面。

$- t - - \frac{8 t}{3} = 0$

解题步骤 6.1.2.4

乘以 $- - \frac{8 t}{3}$ 。

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解题步骤 6.1.2.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- t + 1 \frac{8 t}{3} = 0$

解题步骤 6.1.2.4.2

将 $\frac{8 t}{3}$ 乘以 $1$ 。

$- t + \frac{8 t}{3} = 0$

解题步骤 6.1.3

要将 $- t$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$- t \cdot \frac{3}{3} + \frac{8 t}{3} = 0$

解题步骤 6.1.4

化简项。

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解题步骤 6.1.4.1

组合 $- t$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{- t \cdot 3}{3} + \frac{8 t}{3} = 0$

解题步骤 6.1.4.2

在公分母上合并分子。

$\frac{- t \cdot 3 + 8 t}{3} = 0$

解题步骤 6.1.5

化简分子。

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解题步骤 6.1.5.1

从 $- t \cdot 3 + 8 t$ 中分解出因数 $t$ 。

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解题步骤 6.1.5.1.1

从 $- t \cdot 3$ 中分解出因数 $t$ 。

$\frac{t (- 1 \cdot 3) + 8 t}{3} = 0$

解题步骤 6.1.5.1.2

从 $8 t$ 中分解出因数 $t$ 。

$\frac{t (- 1 \cdot 3) + t \cdot 8}{3} = 0$

解题步骤 6.1.5.1.3

从 $t (- 1 \cdot 3) + t \cdot 8$ 中分解出因数 $t$ 。

$\frac{t (- 1 \cdot 3 + 8)}{3} = 0$

解题步骤 6.1.5.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{t (- 3 + 8)}{3} = 0$

解题步骤 6.1.5.3

将 $- 3$ 和 $8$ 相加。

$\frac{t \cdot 5}{3} = 0$

解题步骤 6.1.6

将 $5$ 移到 $t$ 的左侧。

$\frac{5 t}{3} = 0$

解题步骤 6.2

将分子设为等于零。

$5 t = 0$

解题步骤 6.3

将 $5 t = 0$ 中的每一项除以 $5$ 并化简。

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解题步骤 6.3.1

将 $5 t = 0$ 中的每一项都除以 $5$ 。

$\frac{5 t}{5} = \frac{0}{5}$

解题步骤 6.3.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.2.1

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{5 t}{5} = \frac{0}{5}$

解题步骤 6.3.2.1.2

用 $t$ 除以 $1$ 。

$t = \frac{0}{5}$

解题步骤 6.3.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.3.1

用 $0$ 除以 $5$ 。

$t = 0$

解题步骤 7

使用 $t$ 的值求解 $x$ 、 $y$ 和 $z$ 的参数方程。

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解题步骤 7.1

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 7.1.1

去掉圆括号。

$x = 0 - 1 \cdot 0$

解题步骤 7.1.2

从 $0$ 中减去 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 7.2

求解 $y$ 的方程。

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解题步骤 7.2.1

去掉圆括号。

$y = 0 - 1 \cdot 0$

解题步骤 7.2.2

从 $0$ 中减去 $0$ 。

$y = 0$

解题步骤 7.3

求解 $z$ 的方程。

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解题步骤 7.3.1

去掉圆括号。

$z = 0 + 0 \cdot (0)$

解题步骤 7.3.2

化简 $0 + 0 \cdot (0)$ 。

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解题步骤 7.3.2.1

将 $0$ 乘以 $0$ 。

$z = 0 + 0$

解题步骤 7.3.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$z = 0$

解题步骤 7.4

所求得的 $x$ 、 $y$ 和 $z$ 的参数方程。

$x = 0$

$y = 0$

$z = 0$

$x = 0$

$y = 0$

$z = 0$

解题步骤 8

使用对 $x$ 、 $y$ 和 $z$ 计算所得的值，求得的交点为 $(0, 0, 0)$ 。

$(0, 0, 0)$

代数 示例

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