代数示例

$f (x) = 2 x^{4} + 3 x^{3} + 16 x^{2} + 27 x - 18$

解题步骤 1

重新组合项。

$f (x) = 3 x^{3} + 27 x + 2 x^{4} + 16 x^{2} - 18$

解题步骤 2

从 $3 x^{3} + 27 x$ 中分解出因数 $3 x$ 。

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解题步骤 2.1

从 $3 x^{3}$ 中分解出因数 $3 x$ 。

$f (x) = 3 x (x^{2}) + 27 x + 2 x^{4} + 16 x^{2} - 18$

解题步骤 2.2

从 $27 x$ 中分解出因数 $3 x$ 。

$f (x) = 3 x (x^{2}) + 3 x (9) + 2 x^{4} + 16 x^{2} - 18$

解题步骤 2.3

从 $3 x (x^{2}) + 3 x (9)$ 中分解出因数 $3 x$ 。

$f (x) = 3 x (x^{2} + 9) + 2 x^{4} + 16 x^{2} - 18$

解题步骤 3

从 $2 x^{4} + 16 x^{2} - 18$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 3.1

从 $2 x^{4}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (x) = 3 x (x^{2} + 9) + 2 (x^{4}) + 16 x^{2} - 18$

解题步骤 3.2

从 $16 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (x) = 3 x (x^{2} + 9) + 2 (x^{4}) + 2 (8 x^{2}) - 18$

解题步骤 3.3

从 $- 18$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (x) = 3 x (x^{2} + 9) + 2 x^{4} + 2 (8 x^{2}) + 2 \cdot - 9$

解题步骤 3.4

从 $2 x^{4} + 2 (8 x^{2})$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (x) = 3 x (x^{2} + 9) + 2 (x^{4} + 8 x^{2}) + 2 \cdot - 9$

解题步骤 3.5

从 $2 (x^{4} + 8 x^{2}) + 2 \cdot - 9$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (x) = 3 x (x^{2} + 9) + 2 (x^{4} + 8 x^{2} - 9)$

解题步骤 4

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$f (x) = 3 x (x^{2} + 9) + 2 ({(x^{2})}^{2} + 8 x^{2} - 9)$

解题步骤 5

使 $u = x^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{2}$ 。

$f (x) = 3 x (x^{2} + 9) + 2 (u^{2} + 8 u - 9)$

解题步骤 6

使用 AC 法来对 $u^{2} + 8 u - 9$ 进行因式分解。

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解题步骤 6.1

思考一下 $x^{2} + i x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $i$ 。在本例中，其积即为 $- 9$ ，和为 $8$ 。

$f (x) = - 1, 9$

解题步骤 6.2

使用这些整数书写分数形式。

$f (x) = 3 x (x^{2} + 9) + 2 ((u - 1) (u + 9))$

解题步骤 7

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f (x) = 3 x (x^{2} + 9) + 2 ((x^{2} - 1) (x^{2} + 9))$

解题步骤 8

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$f (x) = 3 x (x^{2} + 9) + 2 ((x^{2} - 1^{2}) (x^{2} + 9))$

解题步骤 9

因数。

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解题步骤 9.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - i^{2} = (a + i) (a - i)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $i = 1$ 。

$f (x) = 3 x (x^{2} + 9) + 2 ((x + 1) (x - 1) (x^{2} + 9))$

解题步骤 9.2

去掉多余的括号。

$f (x) = 3 x (x^{2} + 9) + 2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 9)$

解题步骤 10

从 $3 x (x^{2} + 9) + 2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 9)$ 中分解出因数 $x^{2} + 9$ 。

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解题步骤 10.1

从 $3 x (x^{2} + 9)$ 中分解出因数 $x^{2} + 9$ 。

$f (x) = (x^{2} + 9) (3 x) + 2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 9)$

解题步骤 10.2

从 $2 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 9)$ 中分解出因数 $x^{2} + 9$ 。

$f (x) = (x^{2} + 9) (3 x) + (x^{2} + 9) (2 (x + 1) (x - 1))$

解题步骤 10.3

从 $(x^{2} + 9) (3 x) + (x^{2} + 9) (2 (x + 1) (x - 1))$ 中分解出因数 $x^{2} + 9$ 。

$f (x) = (x^{2} + 9) (3 x + 2 (x + 1) (x - 1))$

解题步骤 11

运用分配律。

$f (x) = (x^{2} + 9) (3 x + (2 x + 2 \cdot 1) (x - 1))$

解题步骤 12

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f (x) = (x^{2} + 9) (3 x + (2 x + 2) (x - 1))$

解题步骤 13

使用 FOIL 方法展开 $(2 x + 2) (x - 1)$ 。

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解题步骤 13.1

运用分配律。

$f (x) = (x^{2} + 9) (3 x + 2 x (x - 1) + 2 (x - 1))$

解题步骤 13.2

运用分配律。

$f (x) = (x^{2} + 9) (3 x + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 + 2 (x - 1))$

解题步骤 13.3

运用分配律。

$f (x) = (x^{2} + 9) (3 x + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1)$

解题步骤 14

化简并合并同类项。

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解题步骤 14.1

化简每一项。

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解题步骤 14.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 14.1.1.1

移动 $x$ 。

$f (x) = (x^{2} + 9) (3 x + 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1)$

解题步骤 14.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f (x) = (x^{2} + 9) (3 x + 2 x^{2} + 2 x \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1)$

解题步骤 14.1.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f (x) = (x^{2} + 9) (3 x + 2 x^{2} - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 1)$

解题步骤 14.1.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f (x) = (x^{2} + 9) (3 x + 2 x^{2} - 2 x + 2 x - 2)$

解题步骤 14.2

将 $- 2 x$ 和 $2 x$ 相加。

$f (x) = (x^{2} + 9) (3 x + 2 x^{2} + 0 - 2)$

解题步骤 14.3

将 $2 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$f (x) = (x^{2} + 9) (3 x + 2 x^{2} - 2)$

解题步骤 15

重新排序项。

$f (x) = (x^{2} + 9) (2 x^{2} + 3 x - 2)$

解题步骤 16

因数。

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解题步骤 16.1

分组因式分解。

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解题步骤 16.1.1

对于 $a x^{2} + i x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ 并且它们的和为 $i = 3$ 。

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解题步骤 16.1.1.1

从 $3 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (x) = (x^{2} + 9) (2 x^{2} + 3 (x) - 2)$

解题步骤 16.1.1.2

把 $3$ 重写为 $- 1$ 加 $4$

$f (x) = (x^{2} + 9) (2 x^{2} + (- 1 + 4) x - 2)$

解题步骤 16.1.1.3

运用分配律。

$f (x) = (x^{2} + 9) (2 x^{2} - 1 x + 4 x - 2)$

解题步骤 16.1.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 16.1.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$f (x) = (x^{2} + 9) ((2 x^{2} - 1 x) + 4 x - 2)$

解题步骤 16.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$f (x) = (x^{2} + 9) (x (2 x - 1) + 2 (2 x - 1))$

解题步骤 16.1.3

通过因式分解出最大公因数 $2 x - 1$ 来因式分解多项式。

$f (x) = (x^{2} + 9) ((2 x - 1) (x + 2))$

解题步骤 16.2

去掉多余的括号。

$f (x) = (x^{2} + 9) (2 x - 1) (x + 2)$

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