代数示例

$\frac{36^{x}}{6^{x}}$

解题步骤 1

交换变量。

$x = \frac{36^{y}}{6^{y}}$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为 $\frac{36^{y}}{6^{y}} = x$ 。

$\frac{36^{y}}{6^{y}} = x$

解题步骤 2.2

两边同时乘以 $6^{y}$ 。

$\frac{36^{y}}{6^{y}} \cdot 6^{y} = x \cdot 6^{y}$

解题步骤 2.3

化简左边。

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解题步骤 2.3.1

约去 $6^{y}$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.1

约去公因数。

$\frac{36^{y}}{6^{y}} \cdot 6^{y} = x \cdot 6^{y}$

解题步骤 2.3.1.2

重写表达式。

$36^{y} = x \cdot 6^{y}$

解题步骤 2.4

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.4.1

取方程两边的对数。

$\ln (36^{y}) = \ln (x \cdot 6^{y})$

解题步骤 2.4.2

通过将 $y$ 移到对数外来展开 $\ln (36^{y})$ 。

$y \ln (36) = \ln (x \cdot 6^{y})$

解题步骤 2.4.3

将 $\ln (x \cdot 6^{y})$ 重写为 $\ln (x) + \ln (6^{y})$ 。

$y \ln (36) = \ln (x) + \ln (6^{y})$

解题步骤 2.4.4

通过将 $y$ 移到对数外来展开 $\ln (6^{y})$ 。

$y \ln (36) = \ln (x) + y \ln (6)$

解题步骤 2.4.5

求解 $y$ 的方程。

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解题步骤 2.4.5.1

将所有包含对数的项移到等式左边。

$y \ln (36) - \ln (x) - y \ln (6) = 0$

解题步骤 2.4.5.2

在等式两边都加上 $\ln (x)$ 。

$y \ln (36) - y \ln (6) = \ln (x)$

解题步骤 2.4.5.3

从 $y \ln (36) - y \ln (6)$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 2.4.5.3.1

从 $y \ln (36)$ 中分解出因数 $y$ 。

$y (\ln (36)) - y \ln (6) = \ln (x)$

解题步骤 2.4.5.3.2

从 $- y \ln (6)$ 中分解出因数 $y$ 。

$y (\ln (36)) + y (- 1 \ln (6)) = \ln (x)$

解题步骤 2.4.5.3.3

从 $y (\ln (36)) + y (- 1 \ln (6))$ 中分解出因数 $y$ 。

$y (\ln (36) - 1 \ln (6)) = \ln (x)$

解题步骤 2.4.5.4

将 $- 1 \ln (6)$ 重写为 $- \ln (6)$ 。

$y (\ln (36) - \ln (6)) = \ln (x)$

解题步骤 2.4.5.5

将 $y (\ln (36) - \ln (6)) = \ln (x)$ 中的每一项除以 $\ln (36) - \ln (6)$ 并化简。

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解题步骤 2.4.5.5.1

将 $y (\ln (36) - \ln (6)) = \ln (x)$ 中的每一项都除以 $\ln (36) - \ln (6)$ 。

$\frac{y (\ln (36) - \ln (6))}{\ln (36) - \ln (6)} = \frac{\ln (x)}{\ln (36) - \ln (6)}$

解题步骤 2.4.5.5.2

化简左边。

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解题步骤 2.4.5.5.2.1

约去 $\ln (36) - \ln (6)$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.5.5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y (\ln (36) - \ln (6))}{\ln (36) - \ln (6)} = \frac{\ln (x)}{\ln (36) - \ln (6)}$

解题步骤 2.4.5.5.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\ln (x)}{\ln (36) - \ln (6)}$

解题步骤 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (36) - \ln (6)}$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (36) - \ln (6)}$ 是否为 $f (x) = \frac{36^{x}}{6^{x}}$ 的反函数。

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解题步骤 4.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 4.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 4.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 4.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\frac{36^{x}}{6^{x}})$ 。

$f^{- 1} (\frac{36^{x}}{6^{x}}) = \frac{\ln (\frac{36^{x}}{6^{x}})}{\ln (36) - \ln (6)}$

解题步骤 4.2.3

化简分子。

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解题步骤 4.2.3.1

使用商的乘方法则 $\frac{a^{m}}{b^{m}} = {(\frac{a}{b})}^{m}$ 。

$f^{- 1} (\frac{36^{x}}{6^{x}}) = \frac{\ln ({(\frac{36}{6})}^{x})}{\ln (36) - \ln (6)}$

解题步骤 4.2.3.2

用 $36$ 除以 $6$ 。

$f^{- 1} (\frac{36^{x}}{6^{x}}) = \frac{\ln (6^{x})}{\ln (36) - \ln (6)}$

解题步骤 4.2.4

化简分母。

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解题步骤 4.2.4.1

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$f^{- 1} (\frac{36^{x}}{6^{x}}) = \frac{\ln (6^{x})}{\ln (\frac{36}{6})}$

解题步骤 4.2.4.2

用 $36$ 除以 $6$ 。

$f^{- 1} (\frac{36^{x}}{6^{x}}) = \frac{\ln (6^{x})}{\ln (6)}$

解题步骤 4.2.5

通过将 $x$ 移到对数外来展开 $\ln (6^{x})$ 。

$f^{- 1} (\frac{36^{x}}{6^{x}}) = \frac{x \ln (6)}{\ln (6)}$

解题步骤 4.2.6

约去 $\ln (6)$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.6.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{36^{x}}{6^{x}}) = \frac{x \ln (6)}{\ln (6)}$

解题步骤 4.2.6.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (\frac{36^{x}}{6^{x}}) = x$

解题步骤 4.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 4.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 4.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{\ln (x)}{\ln (36) - \ln (6)})$ 。

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (36) - \ln (6)}) = \frac{36^{\frac{\ln (x)}{\ln (36) - \ln (6)}}}{6^{\frac{\ln (x)}{\ln (36) - \ln (6)}}}$

解题步骤 4.3.3

化简分母。

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解题步骤 4.3.3.1

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (36) - \ln (6)}) = \frac{36^{\frac{\ln (x)}{\ln (\frac{36}{6})}}}{6^{\frac{\ln (x)}{\ln (36) - \ln (6)}}}$

解题步骤 4.3.3.2

用 $36$ 除以 $6$ 。

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (36) - \ln (6)}) = \frac{36^{\frac{\ln (x)}{\ln (6)}}}{6^{\frac{\ln (x)}{\ln (36) - \ln (6)}}}$

解题步骤 4.3.4

化简分母。

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解题步骤 4.3.4.1

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (36) - \ln (6)}) = \frac{36^{\frac{\ln (x)}{\ln (6)}}}{6^{\frac{\ln (x)}{\ln (\frac{36}{6})}}}$

解题步骤 4.3.4.2

用 $36$ 除以 $6$ 。

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (36) - \ln (6)}) = \frac{36^{\frac{\ln (x)}{\ln (6)}}}{6^{\frac{\ln (x)}{\ln (6)}}}$

解题步骤 4.3.5

化简分母。

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解题步骤 4.3.5.1

使用换底公式 $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ 。

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (36) - \ln (6)}) = \frac{36^{\frac{\ln (x)}{\ln (6)}}}{6^{\log_{6} (x)}}$

解题步骤 4.3.5.2

指数函数和对数函数互为反函数。

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (36) - \ln (6)}) = \frac{36^{\frac{\ln (x)}{\ln (6)}}}{x}$

解题步骤 4.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (36) - \ln (6)}$ 为 $f (x) = \frac{36^{x}}{6^{x}}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (36) - \ln (6)}$

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