代数示例

$z = x^{y} + \ln (x y)$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (z) = \frac{d}{d x} (x^{y} + \ln (x y))$

解题步骤 2

$z$ 对 $x$ 的导数为 $z'$ 。

$z'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

求微分。

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解题步骤 3.1.1

根据加法法则， $x^{y} + \ln (x y)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{y}] + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{y}] + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$

解题步骤 3.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = y$ 。

$y x^{y - 1} + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [\ln (x y)]$ 。

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解题步骤 3.2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = x y$ 。

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解题步骤 3.2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x y$ 。

$y x^{y - 1} + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

解题步骤 3.2.1.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$y x^{y - 1} + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x y]$

解题步骤 3.2.1.3

使用 $x y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$y x^{y - 1} + \frac{1}{x y} \frac{d}{d x} [x y]$

解题步骤 3.2.2

因为 $y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $x y$ 对 $x$ 的导数是 $y \frac{d}{d x} [x]$ 。

$y x^{y - 1} + \frac{1}{x y} (y \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$y x^{y - 1} + \frac{1}{x y} (y \cdot 1)$

解题步骤 3.2.4

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$y x^{y - 1} + \frac{1}{x y} y$

解题步骤 3.2.5

组合 $\frac{1}{x y}$ 和 $y$ 。

$y x^{y - 1} + \frac{y}{x y}$

解题步骤 3.2.6

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.6.1

约去公因数。

$y x^{y - 1} + \frac{y}{x y}$

解题步骤 3.2.6.2

重写表达式。

$y x^{y - 1} + \frac{1}{x}$

解题步骤 3.3

化简。

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解题步骤 3.3.1

合并项。

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解题步骤 3.3.1.1

要将 $y x^{y - 1}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{y x^{y - 1} x}{x} + \frac{1}{x}$

解题步骤 3.3.1.2

在公分母上合并分子。

$\frac{y x^{y - 1} x + 1}{x}$

解题步骤 3.3.1.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{y (x^{1} x^{y - 1}) + 1}{x}$

解题步骤 3.3.1.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{y x^{1 + y - 1} + 1}{x}$

解题步骤 3.3.1.5

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{y x^{y + 0} + 1}{x}$

解题步骤 3.3.1.6

将 $y$ 和 $0$ 相加。

$\frac{y x^{y} + 1}{x}$

解题步骤 3.3.2

重新排序项。

$\frac{x^{y} y + 1}{x}$

解题步骤 3.3.3

将 $\frac{x^{y} y + 1}{x}$ 中的因式重新排序。

$\frac{y x^{y} + 1}{x}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$z' = \frac{y x^{y} + 1}{x}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d z}{d x}$ 替换 $z'$ 。

$\frac{d z}{d x} = \frac{y x^{y} + 1}{x}$

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