代数示例

$x^{2} - 7 x y + y^{3} = C$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d y} (x^{2} - 7 x y + y^{3}) = \frac{d}{d y} (C)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

求微分。

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解题步骤 2.1.1

根据加法法则， $x^{2} - 7 x y + y^{3}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 7 x y] + \frac{d}{d y} [y^{3}]$ 。

$\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 7 x y] + \frac{d}{d y} [y^{3}]$

解题步骤 2.1.2

因为 $x^{2}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $x^{2}$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d y} [- 7 x y] + \frac{d}{d y} [y^{3}]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d y} [- 7 x y]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- 7 x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- 7 x y$ 对 $y$ 的导数是 $- 7 x \frac{d}{d y} [y]$ 。

$0 - 7 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{3}]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 - 7 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{3}]$

解题步骤 2.2.3

将 $- 7$ 乘以 $1$ 。

$0 - 7 x + \frac{d}{d y} [y^{3}]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$0 - 7 x + 3 y^{2}$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

从 $0$ 中减去 $7 x$ 。

$- 7 x + 3 y^{2}$

解题步骤 2.4.2

重新排序项。

$3 y^{2} - 7 x$

解题步骤 3

将 $\frac{d}{d y} [C]$ 重写为 $C'$ 。

$C'$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$3 y^{2} - 7 x = C'$

解题步骤 5

将方程重写为 $C' = 3 y^{2} - 7 x$ 。

$C' = 3 y^{2} - 7 x$

解题步骤 6

使用 $\frac{d C}{d y}$ 替换 $C'$ 。

$\frac{d C}{d y} = 3 y^{2} - 7 x$

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