代数示例

$z = x^{y} + \ln (x y)$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d y} (z) = \frac{d}{d y} (x^{y} + \ln (x y))$

解题步骤 2

因为 $z$ 对于 $y$ 是常数，所以 $z$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$0$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

根据加法法则， $x^{y} + \ln (x y)$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [x^{y}] + \frac{d}{d y} [\ln (x y)]$ 。

$\frac{d}{d y} [x^{y}] + \frac{d}{d y} [\ln (x y)]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d y} [x^{y}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

利用广义幂法则求导，即 $\frac{d}{d y} [f^{g}]$ 为 $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ ，其中 $f = x$ 及 $g = y$ 。

$\frac{d}{d y} [x] (y x^{y - 1}) + \frac{d}{d y} [y] (x^{y} \ln (x)) + \frac{d}{d y} [\ln (x y)]$

解题步骤 3.2.2

将 $\frac{d}{d y} [x]$ 重写为 $x'$ 。

$x' (y x^{y - 1}) + \frac{d}{d y} [y] (x^{y} \ln (x)) + \frac{d}{d y} [\ln (x y)]$

解题步骤 3.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x' (y x^{y - 1}) + 1 (x^{y} \ln (x)) + \frac{d}{d y} [\ln (x y)]$

解题步骤 3.2.4

将 $x^{y}$ 乘以 $1$ 。

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{d}{d y} [\ln (x y)]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d y} [\ln (x y)]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 等于 $f' (g (y)) g' (y)$ ，其中 $f (y) = \ln (y)$ 且 $g (y) = x y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x y$ 。

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d y} [x y]$

解题步骤 3.3.1.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{u} \frac{d}{d y} [x y]$

解题步骤 3.3.1.3

使用 $x y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{x y} \frac{d}{d y} [x y]$

解题步骤 3.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 等于 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ，其中 $f (y) = x$ 且 $g (y) = y$ 。

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{x y} (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x])$

解题步骤 3.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{x y} (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x])$

解题步骤 3.3.4

将 $\frac{d}{d y} [x]$ 重写为 $x'$ 。

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{x y} (x \cdot 1 + y x')$

解题步骤 3.3.5

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{x y} (x + y x')$

解题步骤 3.4

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.1

运用分配律。

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{x y} x + \frac{1}{x y} (y x')$

解题步骤 3.4.2

合并项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.2.1

组合 $\frac{1}{x y}$ 和 $x$ 。

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{x}{x y} + \frac{1}{x y} (y x')$

解题步骤 3.4.2.2

约去 $x$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.2.2.1

约去公因数。

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{x}{x y} + \frac{1}{x y} (y x')$

解题步骤 3.4.2.2.2

重写表达式。

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{y} + \frac{1}{x y} (y x')$

解题步骤 3.4.2.3

组合 $y$ 和 $\frac{1}{x y}$ 。

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{y} + \frac{y}{x y} x'$

解题步骤 3.4.2.4

组合 $\frac{y}{x y}$ 和 $x'$ 。

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{y} + \frac{y x'}{x y}$

解题步骤 3.4.2.5

约去 $y$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.2.5.1

约去公因数。

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{y} + \frac{y x'}{x y}$

解题步骤 3.4.2.5.2

重写表达式。

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{y} + \frac{x'}{x}$

解题步骤 3.4.2.6

要将 $x' (y x^{y - 1})$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{y}{y}$ 。

$x^{y} \ln (x) + \frac{x' (y x^{y - 1}) y}{y} + \frac{1}{y} + \frac{x'}{x}$

解题步骤 3.4.2.7

在公分母上合并分子。

$x^{y} \ln (x) + \frac{x' (y x^{y - 1}) y + 1}{y} + \frac{x'}{x}$

解题步骤 3.4.2.8

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{y} \ln (x) + \frac{x' (x^{y - 1}) (y^{1} y) + 1}{y} + \frac{x'}{x}$

解题步骤 3.4.2.9

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{y} \ln (x) + \frac{x' (x^{y - 1}) (y^{1} y^{1}) + 1}{y} + \frac{x'}{x}$

解题步骤 3.4.2.10

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{y} \ln (x) + \frac{x' (x^{y - 1}) y^{1 + 1} + 1}{y} + \frac{x'}{x}$

解题步骤 3.4.2.11

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x^{y} \ln (x) + \frac{x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1}{y} + \frac{x'}{x}$

解题步骤 3.4.2.12

要将 $x^{y} \ln (x)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{y}{y}$ 。

$\frac{x^{y} \ln (x) y}{y} + \frac{x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1}{y} + \frac{x'}{x}$

解题步骤 3.4.2.13

在公分母上合并分子。

$\frac{x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1}{y} + \frac{x'}{x}$

解题步骤 3.4.2.14

要将 $\frac{x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1}{y}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1}{y} \cdot \frac{x}{x} + \frac{x'}{x}$

解题步骤 3.4.2.15

要将 $\frac{x'}{x}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{y}{y}$ 。

$\frac{x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1}{y} \cdot \frac{x}{x} + \frac{x'}{x} \cdot \frac{y}{y}$

解题步骤 3.4.2.16

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $y x$ 的形式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.2.16.1

将 $\frac{x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1}{y}$ 乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{(x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1) x}{y x} + \frac{x'}{x} \cdot \frac{y}{y}$

解题步骤 3.4.2.16.2

将 $\frac{x'}{x}$ 乘以 $\frac{y}{y}$ 。

$\frac{(x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1) x}{y x} + \frac{x' y}{x y}$

解题步骤 3.4.2.16.3

重新排序 $y x$ 的因式。

$\frac{(x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1) x}{x y} + \frac{x' y}{x y}$

解题步骤 3.4.2.17

在公分母上合并分子。

$\frac{(x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1) x + x' y}{x y}$

解题步骤 3.4.3

重新排序项。

$\frac{x (x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1) + y x'}{x y}$

解题步骤 3.4.4

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.4.1

运用分配律。

$\frac{x (x^{y} \ln (x) y) + x (x' (x^{y - 1}) y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

解题步骤 3.4.4.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.4.2.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{y}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.4.2.1.1

移动 $x^{y}$ 。

$\frac{x^{y} x (\ln (x) y) + x (x' (x^{y - 1}) y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

解题步骤 3.4.4.2.1.2

将 $x^{y}$ 乘以 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.4.2.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x^{y} x^{1} (\ln (x) y) + x (x' (x^{y - 1}) y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

解题步骤 3.4.4.2.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x^{y + 1} (\ln (x) y) + x (x' (x^{y - 1}) y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

解题步骤 3.4.4.2.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{y - 1}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.4.2.2.1

移动 $x^{y - 1}$ 。

$\frac{x^{y + 1} (\ln (x) y) + x^{y - 1} x (x' y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

解题步骤 3.4.4.2.2.2

将 $x^{y - 1}$ 乘以 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.4.2.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x^{y + 1} (\ln (x) y) + x^{y - 1} x^{1} (x' y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

解题步骤 3.4.4.2.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x^{y + 1} (\ln (x) y) + x^{y - 1 + 1} (x' y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

解题步骤 3.4.4.2.2.3

合并 $y - 1 + 1$ 中相反的项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.4.2.2.3.1

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{x^{y + 1} (\ln (x) y) + x^{y + 0} (x' y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

解题步骤 3.4.4.2.2.3.2

将 $y$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x^{y + 1} (\ln (x) y) + x^{y} (x' y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

解题步骤 3.4.4.2.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{y + 1} (\ln (x) y) + x^{y} (x' y^{2}) + x + y x'}{x y}$

解题步骤 3.4.5

将 $\frac{x^{y + 1} (\ln (x) y) + x^{y} (x' y^{2}) + x + y x'}{x y}$ 中的因式重新排序。

$\frac{y x^{y + 1} \ln (x) + y^{2} x^{y} x' + x + y x'}{x y}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$0 = \frac{y x^{y + 1} \ln (x) + y^{2} x^{y} x' + x + y x'}{x y}$

解题步骤 5

求解 $x'$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

将分子设为等于零。

$y x^{y + 1} \ln (x) + y^{2} x^{y} x' + x + y x' = 0$

解题步骤 5.2

求解 $x'$ 的方程。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1

将 $y x^{y + 1} \ln (x) + y^{2} x^{y} x' + x + y x'$ 中的因式重新排序。

$y x^{y + 1} \ln (x) + y^{2} x' x^{y} + x + y x' = 0$

解题步骤 5.2.2

将所有不包含 $x'$ 的项移到等式右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.2.1

从等式两边同时减去 $y x^{y + 1} \ln (x)$ 。

$y^{2} x' x^{y} + x + y x' = - y x^{y + 1} \ln (x)$

解题步骤 5.2.2.2

从等式两边同时减去 $x$ 。

$y^{2} x' x^{y} + y x' = - y x^{y + 1} \ln (x) - x$

解题步骤 5.2.3

从 $y^{2} x' x^{y} + y x'$ 中分解出因数 $y x'$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.3.1

从 $y^{2} x' x^{y}$ 中分解出因数 $y x'$ 。

$y x' (y x^{y}) + y x' = - y x^{y + 1} \ln (x) - x$

解题步骤 5.2.3.2

从 $y x'$ 中分解出因数 $y x'$ 。

$y x' (y x^{y}) + y x' \cdot 1 = - y x^{y + 1} \ln (x) - x$

解题步骤 5.2.3.3

从 $y x' (y x^{y}) + y x' \cdot 1$ 中分解出因数 $y x'$ 。

$y x' (y x^{y} + 1) = - y x^{y + 1} \ln (x) - x$

解题步骤 5.2.4

将 $y x' (y x^{y} + 1) = - y x^{y + 1} \ln (x) - x$ 中的每一项除以 $y (y x^{y} + 1)$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.4.1

将 $y x' (y x^{y} + 1) = - y x^{y + 1} \ln (x) - x$ 中的每一项都除以 $y (y x^{y} + 1)$ 。

$\frac{y x' (y x^{y} + 1)}{y (y x^{y} + 1)} = \frac{- y x^{y + 1} \ln (x)}{y (y x^{y} + 1)} + \frac{- x}{y (y x^{y} + 1)}$

解题步骤 5.2.4.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.4.2.1

约去 $y$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y x' (y x^{y} + 1)}{y (y x^{y} + 1)} = \frac{- y x^{y + 1} \ln (x)}{y (y x^{y} + 1)} + \frac{- x}{y (y x^{y} + 1)}$

解题步骤 5.2.4.2.1.2

重写表达式。

$\frac{x' (y x^{y} + 1)}{y x^{y} + 1} = \frac{- y x^{y + 1} \ln (x)}{y (y x^{y} + 1)} + \frac{- x}{y (y x^{y} + 1)}$

解题步骤 5.2.4.2.2

约去 $y x^{y} + 1$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.4.2.2.1

约去公因数。

$\frac{x' (y x^{y} + 1)}{y x^{y} + 1} = \frac{- y x^{y + 1} \ln (x)}{y (y x^{y} + 1)} + \frac{- x}{y (y x^{y} + 1)}$

解题步骤 5.2.4.2.2.2

用 $x'$ 除以 $1$ 。

$x' = \frac{- y x^{y + 1} \ln (x)}{y (y x^{y} + 1)} + \frac{- x}{y (y x^{y} + 1)}$

解题步骤 5.2.4.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.4.3.1

在公分母上合并分子。

$x' = \frac{- y x^{y + 1} \ln (x) - x}{y (y x^{y} + 1)}$

解题步骤 5.2.4.3.2

从 $- y x^{y + 1} \ln (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x' = \frac{- (y x^{y + 1} \ln (x)) - x}{y (y x^{y} + 1)}$

解题步骤 5.2.4.3.3

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x' = \frac{- (y x^{y + 1} \ln (x)) - (x)}{y (y x^{y} + 1)}$

解题步骤 5.2.4.3.4

从 $- (y x^{y + 1} \ln (x)) - (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x' = \frac{- (y x^{y + 1} \ln (x) + x)}{y (y x^{y} + 1)}$

解题步骤 5.2.4.3.5

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.4.3.5.1

将 $- (y x^{y + 1} \ln (x) + x)$ 重写为 $- 1 (y x^{y + 1} \ln (x) + x)$ 。

$x' = \frac{- 1 (y x^{y + 1} \ln (x) + x)}{y (y x^{y} + 1)}$

解题步骤 5.2.4.3.5.2

将负号移到分数的前面。

$x' = - \frac{y x^{y + 1} \ln (x) + x}{y (y x^{y} + 1)}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d x}{d y}$ 替换 $x'$ 。

$\frac{d x}{d y} = - \frac{y x^{y + 1} \ln (x) + x}{y (y x^{y} + 1)}$

代数 示例

代数示例