代数示例

$x^{4} {(a - 2 x^{3})}^{2}$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d a} [f (a) g (a)]$ 等于 $f (a) \frac{d}{d a} [g (a)] + g (a) \frac{d}{d a} [f (a)]$ ，其中 $f (a) = x^{4}$ 且 $g (a) = {(a - 2 x^{3})}^{2}$ 。

$x^{4} \frac{d}{d a} [{(a - 2 x^{3})}^{2}] + {(a - 2 x^{3})}^{2} \frac{d}{d a} [x^{4}]$

解题步骤 2

将 ${(a - 2 x^{3})}^{2}$ 重写为 $(a - 2 x^{3}) (a - 2 x^{3})$ 。

$x^{4} \frac{d}{d a} [(a - 2 x^{3}) (a - 2 x^{3})] + {(a - 2 x^{3})}^{2} \frac{d}{d a} [x^{4}]$

解题步骤 3

使用 FOIL 方法展开 $(a - 2 x^{3}) (a - 2 x^{3})$ 。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$x^{4} \frac{d}{d a} [a (a - 2 x^{3}) - 2 x^{3} (a - 2 x^{3})] + {(a - 2 x^{3})}^{2} \frac{d}{d a} [x^{4}]$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$x^{4} \frac{d}{d a} [a \cdot a + a (- 2 x^{3}) - 2 x^{3} (a - 2 x^{3})] + {(a - 2 x^{3})}^{2} \frac{d}{d a} [x^{4}]$

解题步骤 3.3

运用分配律。

$x^{4} \frac{d}{d a} [a \cdot a + a (- 2 x^{3}) - 2 x^{3} a - 2 x^{3} (- 2 x^{3})] + {(a - 2 x^{3})}^{2} \frac{d}{d a} [x^{4}]$

解题步骤 4

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1

将 $a$ 乘以 $a$ 。

$x^{4} \frac{d}{d a} [a^{2} + a (- 2 x^{3}) - 2 x^{3} a - 2 x^{3} (- 2 x^{3})] + {(a - 2 x^{3})}^{2} \frac{d}{d a} [x^{4}]$

解题步骤 4.1.2

使用乘法的交换性质重写。

$x^{4} \frac{d}{d a} [a^{2} - 2 a x^{3} - 2 x^{3} a - 2 x^{3} (- 2 x^{3})] + {(a - 2 x^{3})}^{2} \frac{d}{d a} [x^{4}]$

解题步骤 4.1.3

使用乘法的交换性质重写。

$x^{4} \frac{d}{d a} [a^{2} - 2 a x^{3} - 2 x^{3} a - 2 \cdot - 2 x^{3} x^{3}] + {(a - 2 x^{3})}^{2} \frac{d}{d a} [x^{4}]$

解题步骤 4.1.4

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 4.1.4.1

移动 $x^{3}$ 。

$x^{4} \frac{d}{d a} [a^{2} - 2 a x^{3} - 2 x^{3} a - 2 \cdot - 2 (x^{3} x^{3})] + {(a - 2 x^{3})}^{2} \frac{d}{d a} [x^{4}]$

解题步骤 4.1.4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{4} \frac{d}{d a} [a^{2} - 2 a x^{3} - 2 x^{3} a - 2 \cdot - 2 x^{3 + 3}] + {(a - 2 x^{3})}^{2} \frac{d}{d a} [x^{4}]$

解题步骤 4.1.4.3

将 $3$ 和 $3$ 相加。

$x^{4} \frac{d}{d a} [a^{2} - 2 a x^{3} - 2 x^{3} a - 2 \cdot - 2 x^{6}] + {(a - 2 x^{3})}^{2} \frac{d}{d a} [x^{4}]$

解题步骤 4.1.5

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$x^{4} \frac{d}{d a} [a^{2} - 2 a x^{3} - 2 x^{3} a + 4 x^{6}] + {(a - 2 x^{3})}^{2} \frac{d}{d a} [x^{4}]$

解题步骤 4.2

从 $- 2 a x^{3}$ 中减去 $2 x^{3} a$ 。

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解题步骤 4.2.1

移动 $x^{3}$ 。

$x^{4} \frac{d}{d a} [a^{2} - 2 a x^{3} - 2 a x^{3} + 4 x^{6}] + {(a - 2 x^{3})}^{2} \frac{d}{d a} [x^{4}]$

解题步骤 4.2.2

从 $- 2 a x^{3}$ 中减去 $2 a x^{3}$ 。

$x^{4} \frac{d}{d a} [a^{2} - 4 a x^{3} + 4 x^{6}] + {(a - 2 x^{3})}^{2} \frac{d}{d a} [x^{4}]$

解题步骤 5

根据加法法则， $a^{2} - 4 a x^{3} + 4 x^{6}$ 对 $a$ 的导数是 $\frac{d}{d a} [a^{2}] + \frac{d}{d a} [- 4 a x^{3}] + \frac{d}{d a} [4 x^{6}]$ 。

$x^{4} (\frac{d}{d a} [a^{2}] + \frac{d}{d a} [- 4 a x^{3}] + \frac{d}{d a} [4 x^{6}]) + {(a - 2 x^{3})}^{2} \frac{d}{d a} [x^{4}]$

解题步骤 6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ 等于 $n a^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$x^{4} (2 a + \frac{d}{d a} [- 4 a x^{3}] + \frac{d}{d a} [4 x^{6}]) + {(a - 2 x^{3})}^{2} \frac{d}{d a} [x^{4}]$

解题步骤 7

因为 $- 4 x^{3}$ 对于 $a$ 是常数，所以 $- 4 a x^{3}$ 对 $a$ 的导数是 $- 4 x^{3} \frac{d}{d a} [a]$ 。

$x^{4} (2 a - 4 x^{3} \frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [4 x^{6}]) + {(a - 2 x^{3})}^{2} \frac{d}{d a} [x^{4}]$

解题步骤 8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ 等于 $n a^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x^{4} (2 a - 4 x^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d a} [4 x^{6}]) + {(a - 2 x^{3})}^{2} \frac{d}{d a} [x^{4}]$

解题步骤 9

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x^{4} (2 a - 4 x^{3} + \frac{d}{d a} [4 x^{6}]) + {(a - 2 x^{3})}^{2} \frac{d}{d a} [x^{4}]$

解题步骤 10

因为 $4 x^{6}$ 对于 $a$ 是常数，所以 $4 x^{6}$ 对 $a$ 的导数为 $0$ 。

$x^{4} (2 a - 4 x^{3} + 0) + {(a - 2 x^{3})}^{2} \frac{d}{d a} [x^{4}]$

解题步骤 11

化简表达式。

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解题步骤 11.1

将 $2 a - 4 x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$x^{4} (2 a - 4 x^{3}) + {(a - 2 x^{3})}^{2} \frac{d}{d a} [x^{4}]$

解题步骤 11.2

重新排序项。

$x^{4} (- 4 x^{3} + 2 a) + {(a - 2 x^{3})}^{2} \frac{d}{d a} [x^{4}]$

解题步骤 12

因为 $x^{4}$ 对于 $a$ 是常数，所以 $x^{4}$ 对 $a$ 的导数为 $0$ 。

$x^{4} (- 4 x^{3} + 2 a) + {(a - 2 x^{3})}^{2} \cdot 0$

解题步骤 13

化简。

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解题步骤 13.1

运用分配律。

$x^{4} (- 4 x^{3}) + x^{4} (2 a) + {(a - 2 x^{3})}^{2} \cdot 0$

解题步骤 13.2

合并项。

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解题步骤 13.2.1

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 13.2.1.1

移动 $x^{3}$ 。

$x^{3} x^{4} \cdot - 4 + x^{4} (2 a) + {(a - 2 x^{3})}^{2} \cdot 0$

解题步骤 13.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{3 + 4} \cdot - 4 + x^{4} (2 a) + {(a - 2 x^{3})}^{2} \cdot 0$

解题步骤 13.2.1.3

将 $3$ 和 $4$ 相加。

$x^{7} \cdot - 4 + x^{4} (2 a) + {(a - 2 x^{3})}^{2} \cdot 0$

解题步骤 13.2.2

将 $- 4$ 移到 $x^{7}$ 的左侧。

$- 4 \cdot x^{7} + x^{4} (2 a) + {(a - 2 x^{3})}^{2} \cdot 0$

解题步骤 13.2.3

将 $2$ 移到 $x^{4}$ 的左侧。

$- 4 x^{7} + 2 \cdot x^{4} a + {(a - 2 x^{3})}^{2} \cdot 0$

解题步骤 13.2.4

将 ${(a - 2 x^{3})}^{2}$ 乘以 $0$ 。

$- 4 x^{7} + 2 x^{4} a + 0$

解题步骤 13.2.5

将 $- 4 x^{7} + 2 x^{4} a$ 和 $0$ 相加。

$- 4 x^{7} + 2 x^{4} a$

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