代数示例

$x^{3} = - i$

解题步骤 1

代入 $u$ 替换 $x^{3}$ 。

$u^{3} = - i$

解题步骤 2

这是复数的三角函数形式，其中 $| z |$ 是模数， $θ$ 是复平面上形成的夹角。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

解题步骤 3

复数的模是复平面上距离原点的距离。

当 $z = a + b i$ 时， $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

解题步骤 4

代入 $a = 0$ 和 $b = - 1$ 的实际值。

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2}}$

解题步骤 5

求 $| z |$ 。

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解题步骤 5.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{1}$

解题步骤 5.2

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$| z | = 1$

解题步骤 6

复平面上点的角为复数部分除以实数部分的逆正切。

$θ = \arctan (\frac{- 1}{0})$

解题步骤 7

因为自变量无定义且 $b$ 是负数，所以复平面上该点的角度为 $\frac{3 π}{2}$ 。

$θ = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 8

代入 $θ = \frac{3 π}{2}$ 和 $| z | = 1$ 的值。

$\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 9

使用三角函数替换等式的右边。

$u^{3} = \cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 10

使用棣莫弗定理求 $u$ 方程。

$r^{3} (c o s (3 θ) + i s i n (3 θ)) = - i = \cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 11

使三角形式的模数等于 $r^{3}$ ，求 $r$ 的值。

$r^{3} = 1$

解题步骤 12

求解 $r$ 的方程。

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解题步骤 12.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$r^{3} - 1 = 0$

解题步骤 12.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 12.2.1

将 $1$ 重写为 $1^{3}$ 。

$r^{3} - 1^{3} = 0$

解题步骤 12.2.2

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = r$ 和 $b = 1$ 。

$(r - 1) (r^{2} + r \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

解题步骤 12.2.3

化简。

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解题步骤 12.2.3.1

将 $r$ 乘以 $1$ 。

$(r - 1) (r^{2} + r + 1^{2}) = 0$

解题步骤 12.2.3.2

一的任意次幂都为一。

$(r - 1) (r^{2} + r + 1) = 0$

解题步骤 12.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$r - 1 = 0$

$r^{2} + r + 1 = 0$

解题步骤 12.4

将 $r - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $r$ 。

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解题步骤 12.4.1

将 $r - 1$ 设为等于 $0$ 。

$r - 1 = 0$

解题步骤 12.4.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$r = 1$

解题步骤 12.5

将 $r^{2} + r + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $r$ 。

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解题步骤 12.5.1

将 $r^{2} + r + 1$ 设为等于 $0$ 。

$r^{2} + r + 1 = 0$

解题步骤 12.5.2

求解 $r$ 的 $r^{2} + r + 1 = 0$ 。

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解题步骤 12.5.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 12.5.2.2

将 $a = 1$ 、 $b = 1$ 和 $c = 1$ 的值代入二次公式中并求解 $r$ 。

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 12.5.2.3

化简。

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解题步骤 12.5.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 12.5.2.3.1.1

一的任意次幂都为一。

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 12.5.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ 。

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解题步骤 12.5.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 12.5.2.3.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 12.5.2.3.1.3

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 12.5.2.3.1.4

将 $- 3$ 重写为 $- 1 (3)$ 。

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 12.5.2.3.1.5

将 $\sqrt{- 1 (3)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ 。

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 12.5.2.3.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$r = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 12.5.2.3.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$r = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 12.5.2.4

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 12.5.2.4.1

化简分子。

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解题步骤 12.5.2.4.1.1

一的任意次幂都为一。

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 12.5.2.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ 。

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解题步骤 12.5.2.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 12.5.2.4.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 12.5.2.4.1.3

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 12.5.2.4.1.4

将 $- 3$ 重写为 $- 1 (3)$ 。

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 12.5.2.4.1.5

将 $\sqrt{- 1 (3)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ 。

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 12.5.2.4.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$r = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 12.5.2.4.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$r = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 12.5.2.4.3

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$r = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 12.5.2.4.4

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$r = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 12.5.2.4.5

从 $i \sqrt{3}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$r = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{2}$

解题步骤 12.5.2.4.6

从 $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$r = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{2}$

解题步骤 12.5.2.4.7

将负号移到分数的前面。

$r = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 12.5.2.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 12.5.2.5.1

化简分子。

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解题步骤 12.5.2.5.1.1

一的任意次幂都为一。

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 12.5.2.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ 。

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解题步骤 12.5.2.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 12.5.2.5.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 12.5.2.5.1.3

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 12.5.2.5.1.4

将 $- 3$ 重写为 $- 1 (3)$ 。

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 12.5.2.5.1.5

将 $\sqrt{- 1 (3)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ 。

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 12.5.2.5.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$r = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 12.5.2.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$r = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 12.5.2.5.3

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$r = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 12.5.2.5.4

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$r = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 12.5.2.5.5

从 $- i \sqrt{3}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$r = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{2}$

解题步骤 12.5.2.5.6

从 $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$r = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{2}$

解题步骤 12.5.2.5.7

将负号移到分数的前面。

$r = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 12.5.2.6

最终答案为两个解的组合。

$r = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 12.6

最终解为使 $(r - 1) (r^{2} + r + 1) = 0$ 成立的所有值。

$r = 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 13

求 $r$ 的近似值。

$r = 1$

解题步骤 14

求 $θ$ 的可能值。

$c o s (3 θ) = c o s (2 π n)$ 和 $s i n (3 θ) = s i n (2 π n)$

解题步骤 15

求使方程 $3 θ = 2 π n$ 成立的 $θ$ 的所有可能取值。

$3 θ = 2 π n$

解题步骤 16

求满足 $r = 0$ 的 $θ$ 的值。

$3 θ = 2 π (0)$

解题步骤 17

求解 $θ$ 的方程。

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解题步骤 17.1

乘以 $2 π \cdot 0$ 。

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解题步骤 17.1.1

将 $0$ 乘以 $2$ 。

$3 θ = 0 π$

解题步骤 17.1.2

将 $0$ 乘以 $π$ 。

$3 θ = 0$

解题步骤 17.2

将 $3 θ = 0$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 17.2.1

将 $3 θ = 0$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 θ}{3} = \frac{0}{3}$

解题步骤 17.2.2

化简左边。

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解题步骤 17.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 17.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 θ}{3} = \frac{0}{3}$

解题步骤 17.2.2.1.2

用 $θ$ 除以 $1$ 。

$θ = \frac{0}{3}$

解题步骤 17.2.3

化简右边。

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解题步骤 17.2.3.1

用 $0$ 除以 $3$ 。

$θ = 0$

解题步骤 18

使用 $θ$ 和 $r$ 的值求方程 $u^{3} = - i$ 的解。

$u_{0} = 1 (\cos (0) + i \sin (0))$

解题步骤 19

把解转换成直角坐标形式。

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解题步骤 19.1

将 $\cos (0) + i \sin (0)$ 乘以 $1$ 。

$u_{0} = \cos (0) + i \sin (0)$

解题步骤 19.2

化简每一项。

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解题步骤 19.2.1

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$u_{0} = 1 + i \sin (0)$

解题步骤 19.2.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$u_{0} = 1 + i \cdot 0$

解题步骤 19.2.3

将 $i$ 乘以 $0$ 。

$u_{0} = 1 + 0$

解题步骤 19.3

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$u_{0} = 1$

解题步骤 20

用 $x^{3}$ 代替 $u$ 以计算右移后 $z$ 的值。

$z_{0} = 0 + 1$

解题步骤 21

求满足 $r = 1$ 的 $θ$ 的值。

$3 θ = 2 π (1)$

解题步骤 22

求解 $θ$ 的方程。

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解题步骤 22.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$3 θ = 2 π$

解题步骤 22.2

将 $3 θ = 2 π$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 22.2.1

将 $3 θ = 2 π$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 θ}{3} = \frac{2 π}{3}$

解题步骤 22.2.2

化简左边。

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解题步骤 22.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 22.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 θ}{3} = \frac{2 π}{3}$

解题步骤 22.2.2.1.2

用 $θ$ 除以 $1$ 。

$θ = \frac{2 π}{3}$

解题步骤 23

使用 $θ$ 和 $r$ 的值求方程 $u^{3} = - i$ 的解。

$u_{1} = 1 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

解题步骤 24

把解转换成直角坐标形式。

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解题步骤 24.1

将 $\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3})$ 乘以 $1$ 。

$u_{1} = \cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3})$

解题步骤 24.2

化简每一项。

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解题步骤 24.2.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$u_{1} = - \cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3})$

解题步骤 24.2.2

$\cos (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$u_{1} = - \frac{1}{2} + i \sin (\frac{2 π}{3})$

解题步骤 24.2.3

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$u_{1} = - \frac{1}{2} + i \sin (\frac{π}{3})$

解题步骤 24.2.4

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$u_{1} = - \frac{1}{2} + i (\frac{\sqrt{3}}{2})$

解题步骤 24.2.5

组合 $i$ 和 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$u_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 25

用 $x^{3}$ 代替 $u$ 以计算右移后 $z$ 的值。

$z_{1} = 0 - \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 26

求满足 $r = 2$ 的 $θ$ 的值。

$3 θ = 2 π (2)$

解题步骤 27

求解 $θ$ 的方程。

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解题步骤 27.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$3 θ = 4 π$

解题步骤 27.2

将 $3 θ = 4 π$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 27.2.1

将 $3 θ = 4 π$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 θ}{3} = \frac{4 π}{3}$

解题步骤 27.2.2

化简左边。

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解题步骤 27.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 27.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 θ}{3} = \frac{4 π}{3}$

解题步骤 27.2.2.1.2

用 $θ$ 除以 $1$ 。

$θ = \frac{4 π}{3}$

解题步骤 28

使用 $θ$ 和 $r$ 的值求方程 $u^{3} = - i$ 的解。

$u_{2} = 1 (\cos (\frac{4 π}{3}) + i \sin (\frac{4 π}{3}))$

解题步骤 29

把解转换成直角坐标形式。

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解题步骤 29.1

将 $\cos (\frac{4 π}{3}) + i \sin (\frac{4 π}{3})$ 乘以 $1$ 。

$u_{2} = \cos (\frac{4 π}{3}) + i \sin (\frac{4 π}{3})$

解题步骤 29.2

化简每一项。

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解题步骤 29.2.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第三象限为负。

$u_{2} = - \cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{4 π}{3})$

解题步骤 29.2.2

$\cos (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$u_{2} = - \frac{1}{2} + i \sin (\frac{4 π}{3})$

解题步骤 29.2.3

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第三象限为负。

$u_{2} = - \frac{1}{2} + i (- \sin (\frac{π}{3}))$

解题步骤 29.2.4

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$u_{2} = - \frac{1}{2} + i (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

解题步骤 29.2.5

组合 $i$ 和 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$u_{2} = - \frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 30

用 $x^{3}$ 代替 $u$ 以计算右移后 $z$ 的值。

$z_{2} = 0 - \frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 31

这些是 $u^{3} = - i$ 的复数解。

$z_{0} = 1$

$z_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}$

$z_{2} = - \frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

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