代数示例

$d_{x} (9 x^{- \frac{1}{2}} + \frac{2}{x^{\frac{5}{2}}})$

解题步骤 1

因为 $d_{x}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $d_{x} (9 x^{- \frac{1}{2}} + \frac{2}{x^{\frac{5}{2}}})$ 对 $x$ 的导数是 $d_{x} \frac{d}{d x} [9 x^{- \frac{1}{2}} + \frac{2}{x^{\frac{5}{2}}}]$ 。

$d_{x} \frac{d}{d x} [9 x^{- \frac{1}{2}} + \frac{2}{x^{\frac{5}{2}}}]$

解题步骤 2

根据加法法则， $9 x^{- \frac{1}{2}} + \frac{2}{x^{\frac{5}{2}}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [9 x^{- \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{5}{2}}}]$ 。

$d_{x} (\frac{d}{d x} [9 x^{- \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{5}{2}}}])$

解题步骤 3

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9 x^{- \frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $9 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$ 。

$d_{x} (9 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{5}{2}}}])$

解题步骤 4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - \frac{1}{2}$ 。

$d_{x} (9 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{5}{2}}}])$

解题步骤 5

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$d_{x} (9 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{5}{2}}}])$

解题步骤 6

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$d_{x} (9 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{5}{2}}}])$

解题步骤 7

在公分母上合并分子。

$d_{x} (9 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{5}{2}}}])$

解题步骤 8

化简分子。

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解题步骤 8.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$d_{x} (9 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{5}{2}}}])$

解题步骤 8.2

从 $- 1$ 中减去 $2$ 。

$d_{x} (9 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{5}{2}}}])$

解题步骤 9

合并分数。

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解题步骤 9.1

将负号移到分数的前面。

$d_{x} (9 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{5}{2}}}])$

解题步骤 9.2

组合 $x^{- \frac{3}{2}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$d_{x} (9 (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{5}{2}}}])$

解题步骤 9.3

将 $- 1$ 乘以 $9$ 。

$d_{x} (- 9 \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{5}{2}}}])$

解题步骤 9.4

组合 $- 9$ 和 $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ 。

$d_{x} (\frac{- 9 x^{- \frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{5}{2}}}])$

解题步骤 9.5

化简表达式。

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解题步骤 9.5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{3}{2}}$ 移动到分母。

$d_{x} (\frac{- 9}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{5}{2}}}])$

解题步骤 9.5.2

将负号移到分数的前面。

$d_{x} (- \frac{9}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{5}{2}}}])$

解题步骤 10

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2}{x^{\frac{5}{2}}}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}]$ 。

$d_{x} (- \frac{9}{2 x^{\frac{3}{2}}} + 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}])$

解题步骤 11

应用指数的基本规则。

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解题步骤 11.1

将 $\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}$ 重写为 ${(x^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ 。

$d_{x} (- \frac{9}{2 x^{\frac{3}{2}}} + 2 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{5}{2}})}^{- 1}])$

解题步骤 11.2

将 ${(x^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 11.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$d_{x} (- \frac{9}{2 x^{\frac{3}{2}}} + 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2} \cdot - 1}])$

解题步骤 11.2.2

乘以 $\frac{5}{2} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 11.2.2.1

组合 $\frac{5}{2}$ 和 $- 1$ 。

$d_{x} (- \frac{9}{2 x^{\frac{3}{2}}} + 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5 \cdot - 1}{2}}])$

解题步骤 11.2.2.2

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$d_{x} (- \frac{9}{2 x^{\frac{3}{2}}} + 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 5}{2}}])$

解题步骤 11.2.3

将负号移到分数的前面。

$d_{x} (- \frac{9}{2 x^{\frac{3}{2}}} + 2 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{5}{2}}])$

解题步骤 12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - \frac{5}{2}$ 。

$d_{x} (- \frac{9}{2 x^{\frac{3}{2}}} + 2 (- \frac{5}{2} x^{- \frac{5}{2} - 1}))$

解题步骤 13

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$d_{x} (- \frac{9}{2 x^{\frac{3}{2}}} + 2 (- \frac{5}{2} x^{- \frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

解题步骤 14

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$d_{x} (- \frac{9}{2 x^{\frac{3}{2}}} + 2 (- \frac{5}{2} x^{- \frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

解题步骤 15

在公分母上合并分子。

$d_{x} (- \frac{9}{2 x^{\frac{3}{2}}} + 2 (- \frac{5}{2} x^{\frac{- 5 - 1 \cdot 2}{2}}))$

解题步骤 16

化简分子。

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解题步骤 16.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$d_{x} (- \frac{9}{2 x^{\frac{3}{2}}} + 2 (- \frac{5}{2} x^{\frac{- 5 - 2}{2}}))$

解题步骤 16.2

从 $- 5$ 中减去 $2$ 。

$d_{x} (- \frac{9}{2 x^{\frac{3}{2}}} + 2 (- \frac{5}{2} x^{\frac{- 7}{2}}))$

解题步骤 17

将负号移到分数的前面。

$d_{x} (- \frac{9}{2 x^{\frac{3}{2}}} + 2 (- \frac{5}{2} x^{- \frac{7}{2}}))$

解题步骤 18

组合 $x^{- \frac{7}{2}}$ 和 $\frac{5}{2}$ 。

$d_{x} (- \frac{9}{2 x^{\frac{3}{2}}} + 2 (- \frac{x^{- \frac{7}{2}} \cdot 5}{2}))$

解题步骤 19

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$d_{x} (- \frac{9}{2 x^{\frac{3}{2}}} - 2 \frac{x^{- \frac{7}{2}} \cdot 5}{2})$

解题步骤 20

组合 $- 2$ 和 $\frac{x^{- \frac{7}{2}} \cdot 5}{2}$ 。

$d_{x} (- \frac{9}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{- 2 (x^{- \frac{7}{2}} \cdot 5)}{2})$

解题步骤 21

乘。

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解题步骤 21.1

将 $5$ 乘以 $- 2$ 。

$d_{x} (- \frac{9}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{- 10 x^{- \frac{7}{2}}}{2})$

解题步骤 21.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{7}{2}}$ 移动到分母。

$d_{x} (- \frac{9}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{- 10}{2 x^{\frac{7}{2}}})$

解题步骤 22

从 $- 10$ 中分解出因数 $2$ 。

$d_{x} (- \frac{9}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{2 \cdot - 5}{2 x^{\frac{7}{2}}})$

解题步骤 23

约去公因数。

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解题步骤 23.1

从 $2 x^{\frac{7}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$d_{x} (- \frac{9}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{2 \cdot - 5}{2 (x^{\frac{7}{2}})})$

解题步骤 23.2

约去公因数。

$d_{x} (- \frac{9}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{2 \cdot - 5}{2 x^{\frac{7}{2}}})$

解题步骤 23.3

重写表达式。

$d_{x} (- \frac{9}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{- 5}{x^{\frac{7}{2}}})$

解题步骤 24

将负号移到分数的前面。

$d_{x} (- \frac{9}{2 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{5}{x^{\frac{7}{2}}})$

解题步骤 25

化简。

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解题步骤 25.1

运用分配律。

$d_{x} (- \frac{9}{2 x^{\frac{3}{2}}}) + d_{x} (- \frac{5}{x^{\frac{7}{2}}})$

解题步骤 25.2

合并项。

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解题步骤 25.2.1

组合 $d_{x}$ 和 $\frac{9}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ 。

$- \frac{d_{x} \cdot 9}{2 x^{\frac{3}{2}}} + d_{x} (- \frac{5}{x^{\frac{7}{2}}})$

解题步骤 25.2.2

将 $9$ 移到 $d_{x}$ 的左侧。

$- \frac{9 \cdot d_{x}}{2 x^{\frac{3}{2}}} + d_{x} (- \frac{5}{x^{\frac{7}{2}}})$

解题步骤 25.2.3

组合 $d_{x}$ 和 $\frac{5}{x^{\frac{7}{2}}}$ 。

$- \frac{9 d_{x}}{2 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{d_{x} \cdot 5}{x^{\frac{7}{2}}}$

解题步骤 25.2.4

将 $5$ 移到 $d_{x}$ 的左侧。

$- \frac{9 d_{x}}{2 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{5 d_{x}}{x^{\frac{7}{2}}}$

代数 示例

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