代数示例

$\sqrt{\frac{48}{x}}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{\frac{48}{x}}$ 重写成 ${(\frac{48}{x})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(\frac{48}{x})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = \frac{48}{x}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{48}{x}$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{48}{x}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{48}{x}]$

解题步骤 2.3

使用 $\frac{48}{x}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{48}{x})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{48}{x}]$

解题步骤 3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{48}{x})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{48}{x}]$

解题步骤 4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{48}{x})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{48}{x}]$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} {(\frac{48}{x})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{48}{x}]$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{48}{x})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{48}{x}]$

解题步骤 6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{48}{x})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{48}{x}]$

解题步骤 7

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} {(\frac{48}{x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{48}{x}]$

解题步骤 8

因为 $48$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{48}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $48 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{48}{x})}^{- \frac{1}{2}} (48 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

解题步骤 9

化简项。

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解题步骤 9.1

组合 $48$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{48}{2} {(\frac{48}{x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 9.2

约去 $48$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.1

从 $48$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 24}{2} {(\frac{48}{x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 9.2.2

约去公因数。

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解题步骤 9.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 24}{2 (1)} {(\frac{48}{x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 9.2.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 24}{2 \cdot 1} {(\frac{48}{x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 9.2.2.3

重写表达式。

$\frac{24}{1} {(\frac{48}{x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 9.2.2.4

用 $24$ 除以 $1$ 。

$24 {(\frac{48}{x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 9.3

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$24 {(\frac{48}{x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

解题步骤 10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$24 {(\frac{48}{x})}^{- \frac{1}{2}} (- x^{- 2})$

解题步骤 11

将 $- 1$ 乘以 $24$ 。

$- 24 {(\frac{48}{x})}^{- \frac{1}{2}} x^{- 2}$

解题步骤 12

化简。

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解题步骤 12.1

通过将底数重写为其倒数的方式改变指数的符号。

$- 24 {(\frac{x}{48})}^{\frac{1}{2}} x^{- 2}$

解题步骤 12.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 24 {(\frac{x}{48})}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 12.3

对 $\frac{x}{48}$ 运用乘积法则。

$- 24 \frac{x^{\frac{1}{2}}}{48^{\frac{1}{2}}} \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 12.4

合并项。

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解题步骤 12.4.1

组合 $- 24$ 和 $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{48^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{- 24 x^{\frac{1}{2}}}{48^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 12.4.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{24 x^{\frac{1}{2}}}{48^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 12.4.3

将 $\frac{1}{x^{2}}$ 乘以 $\frac{24 x^{\frac{1}{2}}}{48^{\frac{1}{2}}}$ 。

$- \frac{24 x^{\frac{1}{2}}}{x^{2} \cdot 48^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 12.4.4

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 $x^{\frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$- \frac{24}{x^{2} \cdot 48^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}$

解题步骤 12.4.5

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 12.4.5.1

移动 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{24}{x^{- \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 48^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 12.4.5.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{24}{x^{- \frac{1}{2} + 2} \cdot 48^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 12.4.5.3

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{24}{x^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} \cdot 48^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 12.4.5.4

组合 $2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{24}{x^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} \cdot 48^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 12.4.5.5

在公分母上合并分子。

$- \frac{24}{x^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}} \cdot 48^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 12.4.5.6

化简分子。

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解题步骤 12.4.5.6.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{24}{x^{\frac{- 1 + 4}{2}} \cdot 48^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 12.4.5.6.2

将 $- 1$ 和 $4$ 相加。

$- \frac{24}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 48^{\frac{1}{2}}}$

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